Читать реферат по математике: "Нормированное пространство. Банахово пространство" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Кустанайский государственный педагогический институт

Естественно-математический факультет

Кафедра высшей математики Реферат

На тему:

Нормированное пространство. Банахово пространство Ванжа Галина

Проверила: ст. преподаватель

Нурмагамбетова А.А. г. Кустанай 2010.

Содержание Введение

Основные понятия и определения

1. Линейные пространства

2. Нормированные пространства

3. Банаховы пространства

4. Компактные множества

Введение В данной работе изучаются такие важные элементы функционального анализа как линейно-нормированные пространства.

Изучение пространств актуально в современном процессе изучения теорий функций и поэтому необходимо рассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств.

Цель: изучить структуру построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.

Для того чтобы определить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятие линейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейного пространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие «нормированного пространства», определить, что является его подпространством.

Одной из поставленных задач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решения используется внутренняя логика развития теории нормированных пространств.

Основные понятия и определения 1. Линейные пространства Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I. Для любых двух элементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый, причем

1);

2);

3) в существует такой элемент 0, что для всех;

4) для каждого существует такой элемент, что.

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент, причем

1);

2);

3);

4);

Примеры линейных пространств

1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.

2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию с операциями,

3. Последовательности, сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначаем его С0. 2. Нормированные пространства Нормированные пространства объединяют структуры линейных пространств.

Будем рассматривать некоторое линейное пространство.

Полунормой называют функционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам:

1. (неотрицательность),

2. (аксиома треугольника),

3. для любого числа (абсолютная однородность).

Нормой называют функционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1.,

2.,

3. (аксиома треугольника),

4. для любого числа (абсолютная однородность).

Таким образом, норма - это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю только на нулевом элементе.

Определение: Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём нормой.

Норму элемента линейного пространства обозначают.

Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом

Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на

Похожие работы