Читать реферат по математике: "Нормированное пространство. Банахово пространство" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Обратно, если, то из непрерывности нормы следует, что в классе з можно указать последовательность элементов, сходящихся к нулевому элементу, но так как в подпространство линейного пространство замкнуто по определению, то замкнуты все классы смежности, а значитз = R' = з0 Для всякого элемента и числа имеет место равенство

Возьмём слева и справа нижнюю грань по з:

С другой стороны, в силу того, что фактор-пространство является линейным пространством, имеет место равенство

Рассмотрим два класса смежности выберем в каждом классе по представителю

Тогда возьмём нижнюю грань от левой и правой части этого неравенства:

Таким образом, все аксиомы нормы действительно выполнены. 3. Банаховы пространства Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:

1);

2);

3);

Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при

Справедливы утверждения:

1. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна

Доказательство: пусть, тогда, при

2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена

Определим расстояние в нормированном пространстве, полагая для любых. Тогда означает, что . Это сходимость по норме.

Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием, при

Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.

Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

Литература 1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ¬¬– М.: Физматлит, 1967.

2. Князев, П.Н. Функциональный анализ / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 1979.

3. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1980.

Похожие работы