Читать реферат по математике: "Нормированное пространство. Банахово пространство" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

В частности, сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной данной нормой.

Непрерывность линейных операций и нормы.

В нормированном пространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: если последовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, а числовая последовательность {an} сходится к пределу a, то

Рассмотрим, сумму двух элементов:

Так как и, то правая часть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть. Непрерывность суммы доказана.

Докажем теперь непрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, что числовая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn − ax следующим образом:

Согласно аксиоме треугольника для нормы:

Рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности:

Таким образом, мы установили, что непрерывность операции умножения на число доказана.

Наконец, докажем непрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в видеxn = (xn − x) + x, по аксиоме треугольника: или

Аналогично можно доказать, что объединяя два этих неравенства, получим:

По определению сходимости по норме, значит, то есть.

Непрерывность нормы доказана.

Примеры нормированных пространств

1. Вещественная прямая R1 является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль вещественного числа.

2. В действительном конечномерном пространстве Rn норму можно ввести нескольким способами. Наиболее широко известна Евклидова норма:

Другие возможные нормы:

В комплексном n-мерном пространстве норму можно ввести следующим образом:

3. В пространстве непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой

4. Пусть М – пространство ограниченных числовых последовательностейХ = (х1,х2,…,хп,…), положим:

||x||=sup|xn|. Подпространства нормированного пространства

Рассматривая линейные пространства (без нормы), мы называли подпространством непустое множество L0 обладающее тем свойством, что если этому множеству принадлежат два элемента x и y пространства L, то любая линейная комбинация этих элементов также принадлежат этому множеству:

Подпространством нормированного пространства мы будем называть только замкнутое подпространства.

Определение: Линейным замыканием системы элементов {xn} или подпространством нормированного пространства, порождённым системой элементов {xn}, называется наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все элементы данной системы.

Произвольную (то есть не обязательно замкнутую) совокупность элементов, содержащую вместе с x и y произвольную их линейную комбинацию ax + by будем называть линейным многообразием.

Система элементов нормированного пространства R называется полной, если её линейное замыкание есть само R.

Фактор-пространства нормированного пространства.

Пусть R — линейное нормированное пространство, а R' — некоторое его подпространство. Рассмотрим фактор пространство З = R / R'. Как известно, фактор-пространство является линейным пространством.

В этом пространстве можно ввести норму, положив для данного класса

Докажем, что все аксиомы нормы действительно выполняются.

Так

Похожие работы