Читать учебное пособие по математике: "Вычислительная математика" Страница 5

(Назад) (Cкачать работу)

Однако, корень четной кратности таким образом локализовать нельзя, так как в окрестности такого корня функция f(x) имеет постоянный знак.

На этапе уточнения корня вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью > 0. Приближенное значение корня уточняют с помощью различных итерационных методов. Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений x0, x1, …, xn, …, которые являются приближениями к корню x*. 2.3 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции) Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения.

Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения (2.1) находится на отрезке [a0, b0], т. е. x*[a0, b0], так, что f(x*) = 0.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a0, b0] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е.f(a0)f(b0) < 0.(2.2) Разделим отрезок [a0, b0] пополам. Получим точку x0 = . Вычислим значение функции в этой точке: f(x0). Если f(x0) = 0, то x0 – искомый корень, и задача решена. Если f(x0)0, то f(x0) – число определенного знака: f(x0) > 0, либо f(x0) < 0. Тогда либо на концах отрезка [a0, x0], либо на концах отрезка [x0, b0] значения функции f(x) имеют разные знаки. Обозначим такой отрезок [a1, b1]. Очевидно, что x*[a1, b1], и длина отрезка [a1, b1] в два раза меньше, чем длина отрезка [a0, b0]. Поступим аналогично с отрезком [a1, b1]. В результате получим либо корень x*, либо новый отрезок [a2, b2], и т.д. (рис. 2.2).

Рис. 2.2 Середина n-го отрезка xn = . Очевидно, что длина отрезка [an, bn] будет равна , а т. к. x*[an, bn], то | xn – x*|.(2.3)

Погрешность метода. Оценка (2.3) характеризует погрешность метода деления отрезка пополам и указывает на скорость сходимости: метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 1/2. Заметим, что оценка (2.3) является априорной.

Критерий окончания. Из соотношения (2.3) следует, что при заданной точности приближениявычисления заканчиваются, когда будет выполнено неравенство bn – an < 2 или неравенство n > log2((b0 – a0)/) – 1. Таким образом, количество итераций можно определить заранее. За приближенное значение корня берется величина xn.Пример 2.1.

Найдем приближенно x =с точностью = 0.01. Эта задача эквивалентна решению уравнения x5 – 2 = 0, или нахождению нуля функции f(x) = x5 – 2. В качестве начального отрезка [a0, b0] возьмем отрезок [1, 2]. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: f(1) < 0, f(2) > 0.

Найдем число n делений отрезка [1, 2], необходимых для достижения требуемой точности. Имеем: | xn – x*|=10-2,

n6. Следовательно, не позднее 6-го деления найдемс требуемой точностью,1.1484. Результаты вычислений представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

2.4 Метод простых итераций Пусть уравнение (2.1) можно заменить эквивалентным ему уравнением x = (x).(2.4) Например, уравнение– 0.5 = 0 можно заменить эквивалентным ему уравнением x = 0.5sinx.

Выберем каким-либо образом начальное приближение x0. Вычислим значение

Похожие работы