Читать реферат по математике: "Методы решения задач Древней Греции" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Герон Александрийский; Heron, I в. н. э., греческий механик и математик. Время его жизни неопределенно. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. В оптике сформулировал законы отражения света, в математике — способы измерения важнейших геометрических фигур. Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. Работы его дошли до нас не полностью. Из его работ известны "Механика", "Книга о подъемных механизмах", "Пневматика", "Книга о военных машинах", "Театр автоматов", "Метрика".

В лучшей из них "Метрике" даны определение шарового сегмента, тора, правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды, приводится так называемая формула Герона для определения площади треугольника по трем сторонам, встречающаяся у Архимеда, даются правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней. Содержание математических трудов Герона догматично, правила чаще всего не выводятся, а поясняются на примерах. Это сближает труды Герона с работами математиков Древнего Египта и Вавилона. Влияние работ Герона можно проследить в Европе вплоть до эпохи Возрождения. Практическая часть Задачи Диофанта.

№1 Решить систему:

х+у =10,

х2+у2 =68. Решение. х=10-у,

(10-у)2 +у2=68,

х=10-у,

100-20у+ у2+у2 =68. Решаем отдельно квадратное уравнение. 2у2-20у+32=0;

D=25-16=9, у1=2,у2=8. Подставляя значения у1 и у2 в уравнение х==10-у, получим х1=8, х2=2.

Ответ: 8 и 2.

№2 . Найти два числа, сумма которых 20, а произведение 96.

Решение:

1способ.

Пусть х –первое число, у – второе число.

Составим систему уравнений:

х+у=20,

х·у=96;

х= 20-у,

(20-у)·у=96;

х= 20-у,

20у-у2-96=0; Решаем отдельно квадратное уравнение. 20у-у2-96=0;

У2-20у+96=0;

D=100-96=4;

у1=12, у2=8.Подставляя значения у1 и у2 в уравнение х = 20-у ,получим, х1=8, х2=12.

Ответ: 8 и 12.

2способ.

Пусть х –первое число, тогда 20-х –второе число.

По условию задачи составляем уравнение: (20-х)·х=96;

20х-х2-96=0;

х2-20х+96=0;

D=100-96=4;

х1=12,х2=8. Подставляя значения х1 и х2 в 20-х ,получим, у1=8, у2=12.

Ответ: 8 и 12. №3. Найти два числа, отношение которых 3 , а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

Решение: Пусть х –первое число, у – второе число.

Составим систему уравнений: х/у=3,

(х2+у2) / (х+у)=5;

х=3у,

(3у)2 +у2= 5(3у+у);

10у2- 20у=0,

х=3у. у (у-2)=0, у≠0,

х=3у;

у=2,

х=6.

Ответ: 2 и 6. №4. Найти три числа, если дано, что произведение суммы первых двух на третье есть 35, суммы первого с третьим на второе – 27 , суммы второго с третьим на первое – 32.

Решение. Пусть х –первое число, у – второе число, z –третье число.

Составим систему уравнений: ( х+у)∙z=35,

(х+z)∙у=27;

(у+z)∙х=32;

хz+уz =35,

ху+zу=27;

ух+zх=32;

хz=35-уz,

ху=27-zу;

27-zу+ 35-уz=32;

хz=35-уz,

ху=27-zу;

30-2zу=0;

хz=20,

ху =12;

zу=15;

х= 20/z,

х=12/у;

у=15;

20/z=12/у,

х=12/у;

у=15;

у= 3/5z,

х=12/у;

z∙3/5z=15;

у= 3/5z,

х=12/у,

z2= 15: 3/5;

х= 4,

у=3;

z =5.

Ответ: 4, 3 и 5.

Задачи из « Греческой антологии»

№1.

Ослица и мул шли бок обок с

Похожие работы