Читать реферат по математике: "Дискретная задача оптимального управления" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

(1) x(i + 1) = / (i,x(i),u(i)), i = 0,1 ,...,N — 1,

x(i) e Vx(i) С Rn, u(i) e Vu(i,x(i)) С Rr,

x(0) e Vx(0), x(N) e Vx(N).

В соответствии с теорией Кротова, с помощью произвольной функции p(i,x), строятся следующие конструкции:

R(i, x, u) = p(i + 1, /(i, x, u)) — p(i, x) — /о(i, x, u), G(x(0),x(N)) = F(x(N)) + p(N, x(N)) — p(0, x(0)),

P(i,x)= sup R(i,x,u), p(i) = sup P(i,x),

uЈV„(i,x(i)) x(i)eVx(i)

m = inf G(x(0),x(N)) : x(0) e V(x)(0),x(N) e V(x)(N).

Задача сводится к поиску такой последовательности пар

{(x(i),u(i))s}c D

и такой функции p (разрешающей, или функции Кротова), что выполняются достаточные условия оптимальности:

R(i,xs(i),us(i)) ^ i), G(xs(0),xs(N)) ^ m.

3. Аппроксимации степенным полиномом

Здесь рассматривается метод приближенного синтеза оптимального управления, как одного из способов задания функции Кротова на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана интерполяционным полиномом.

Предполагается, что Vx(0) = {x(0)} , Vx(i) = Rn, i = 0,1,... ,N. В данном случае функция G(x(0),x(N)) зависит только от x(N), так как левый конец траектории закреплен.

Функция p(i,x) выбирается так, чтобы P(i,x) не зависела от x, а функция G( x(N)) не зависела от x(N) , конкретно посредством известных соотношений типа Беллмана относительно p(i, x):

P (i, x(i)) =0,i = 0,1,...,N — 1, G(x(N)) = 0.

В общем случае их точное решение найти не удается, и приходится ограничиваться приближенными вычислениями.

Предлагаемый метод основан на аппроксимации разрешающей функции p(i,x) некоторым многомерным интерполяционным полиномом

p(i, x) = J2 ^a(i)ga(x),

a

где {ga(x)} — некоторый набор заданных базисных функций, {^a(i)} --соответствующий набор коэффициентов, подлежащих определению из условий интерполяции равенств (1):

[фa(i)] =[ga(xp W)]-^

SUPueU (i,x(i))(Ea фа(i + 1)ga(/(i,x(i),u)) — x(i), u)) в

[Фa(N)] = [ga(xe (N ))]-1[F (xp (N))], а, в = 1, 2,...,M,

где в — номер узловой точки, [(-)a] ,[(^)в],[(^)ae] —матрицы размером (слева направо) M х 1, M х 1, M х M.

Однако в многомерных задачах при интерполяции необходимо согласование формы интерполяционного полинома и сетки узлов интерполяции, обеспечивающее обратимость матрицы [ga(xp(i))]. Выбор этих двух элементов, в конечном счете, и определяет метод приближенного решения поставленной задачи синтеза. В качестве интерполяционного полинома использована следующая известная в теории интерполяции конструкция:

(5)

p(i,x(i))= Ј ji = 1mi (xi(i)j X

(j (x2 (i)j (••• Ј jn=1mn j (i)(xn(ij)),

здесь 1j1,j2,...,jn(i) —неизвестные коэффициенты интерполяционного полинома, которые подлежат вычислению и которые, в конечном счете, определяют приближенно-оптимальный синтез управления. Число этих коэффициентов совпадает на регулярной решетке с числом узловых точек и равно произведению количества узловых точек по каждой из фазовых координат M = mi • m-2 mn.

При решении практических задач, как правило, диапазоны изменения фазовых координат либо заданы, исходя из физического смысла задачи, либо могут быть определены с помощью методов оценок множеств достижимости. Поэтому узловые линии (дискретные) для рассматриваемого интерполяционного полинома могут быть построены следующим образом. В некоторый момент времени i = i* диапазоны изменения фазовых координат разбиваются точками на mi — 1 отрезков по оси xi, на (m-2 — 1) отрезков по оси x2, и т.д. Через эти точки на каждой оси проводятся (n — 1)-мерные гиперплоскости, ортогональные этой оси. Взаимное

Похожие работы