Читать реферат по информатике, вычислительной технике, телекоммуникациям: "Нелинейные САУ" Страница 6

(Назад) (Cкачать работу)

Если система дифференциальных уравнений имеет периодическое решение, то этому решению в фазовом пространстве соответствует замкнутая кривая. На плоскости замкнутые кривые являлись границами областей. В пространстве же ограничивать определенные области могут только поверхности, а не кривые. Поэтому замкнутая траектория по-прежнему соответствует периодическому решению рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, но не служит границей области.

Существуют два принципиальных различия между фазовой плоскостью и фазовым пространством.

1. На фазовой плоскости предельный цикл является не только образом колебательного движения, но и границей области устойчивости для другого предельного цикла или особой точки.

Иногда границей служат и сепаратрисные кривые, но это имеет место в сравнительно редких случаях (главным образом при наличии нескольких особых точек, когда сепаратрисами служат траектории, проходящие через седла — см. рис.2, а и рис.4, б).

В фазовом же пространстве никакая кривая (в том числе и предельный цикл) не может быть границей области.

Области ограничиваются сепаратрисными поверхностями, целиком состоящими из фазовых траекторий.

В результате для фазовой плоскости нахождение особых точек и предельных циклов часто решает задачу и об областях устойчивости «в большом». В фазовом же пространстве нужно для этого найти и сепаратрисные поверхности — задача чрезвычайно сложная.

2. В системах второго порядка колебания могут быть только периодическими на одной определённой частоте.

При более высоких порядках могут сосуществовать колебания разных частот, например: Если частоты  и  не связаны целочисленным соотношением к  = т (где к и т — целые числа), то сумма этих двух колебаний есть тоже колебание, но непериодическое.

Такое колебание в фазовом пространстве образует уже не замкнутую траекторию, а траекторию, полностью заполняющую некоторую замкнутую поверхность (например, тор — см. рис.5). Рис.5. Тороидальная поверхность, образуемая колебаниями в системе третьего порядка Устойчивость нелинейных систем «в малом», «в большом» и «в целом». Системы, эквивалентные устойчивым линейным. Абсолютная устойчивость Задача расчёта нелинейной САУ может считаться полностью качественно решенной, если определены фазовые портреты, возможные в этой системе, и если в ее пространстве параметров определены бифуркационные границы. Количественное решение задачи требует, кроме того, определения формы и расположения предельных циклов и сепаратрис (или сепаратрисных поверхностей) для каждой точки пространства параметров.

Аналитически столь полно решить нелинейную задачу удается лишь в отдельных частных случаях и, как правило, при существенной идеализации задачи.

С геометрической точки зрения, первая задача состоит в выделении нелинейных систем, у которых фазовое пространство имеет наиболее простую топологическую структуру: единственная особая точка (устойчивый фокус или узел) расположена в начале координат, иных особых траекторий нет, и

Похожие работы