Читать реферат по информатике, вычислительной технике, телекоммуникациям: "Нелинейные САУ" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Рассмотрим и здесь в качестве основного примера случай, когда движения описываются двумя дифференциальными уравнениями первого порядка: гдеf1(x1, х2) и f2(х1,х2) — заданные, в общем случае нелинейные функции указанных аргументов.

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий получается, если вместо производных по времени ввести производную dx1/dx2.

Получаем:К фазовой траектории может быть проведена только одна касательная, и, следовательно, фазовые траектории не пересекаются во всех тех точках фазовой плоскости, где не обращаются одновременно в нуль f1(х1, x2) и f2(х1, х2). Особые точки системы находятся из условия dx1/dx2 = 0/0, то есть определяются как общие корни двух уравнений: В предыдущем случае при рассмотрении линейной системы было: и уравнения имели только одно общее решение: х1 = х2 =0. В плоскости х1, х2 этм условия в случае линейной системы определяют две прямые линии, пересекающиеся в начале координат (рис.1, а). Если же функции f1(х1, x2) и f2(х1, х2) нелинейны, то кривые, соответствующие уравнениям, могут пересекаться и вне начала координат. Система имеет в этом случае, кроме решения х1, =х2 = 0, и другие решения. В этом случае, кроме регулируемого режима, соответствующего началу координат, в системе возможны и иные положения равновесия (рис.1, б), и характер движения в системе зависит от величины отклонения от начала координат, вызванного возмущением. Рис.1 Графики, соответствующие уравнениям для линейной (а) и нелинейной (б) систем В рассматриваемом нелинейном случае особые точки могут быть лишь тех же типов, что и в линейной системе (фокусы, узлы и седла). Чтобы в нелинейном случае определить тип особой точки, надо составить соответствующее этой особой точке уравнение линейного приближения, разложив в окрестности этой точки в ряды правые части уравнений и сохранив затем в этих рядах только линейные члены. Эта операция эквивалентна «локальной» линеаризации системы вблизи особой точки.

На рис.2, а в качестве примера показан фазовый портрет системы для случая, когда кривые f1(х1, x2) = 0 и f2(х1, х2) = 0 пересекаются в двух точках. Кроме начала координат, где находится особая точка — аттрактор — устойчивый фокус, они пересекаются ещё в одной точке — неустойчивом узле, где располагается седло. Жирной линией показана траектория, проходящая через седло и выделяющая область притяжения устойчивого равновесного режима, то есть аттрактора типа «устойчивый фокус», расположенного в начале координат (эта область заштрихована на рисунке). Рис.2. Фазовые портреты нелинейных систем: а — с устойчивым фокусом и седлом, б — с устойчивым фокусом и предельным циклом. В обоих случаях имеются

Похожие работы