- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя »
u находятся путем решения следующей системы, состоящей из n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
,j=1,2,3,…,n
Для нахождения всех возможных решений данной системы можно использовать численные методы поиска (например, метод Ньютона). Для каждого из решений () следует вычислить элементы матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функция х, и выяснить, является ли эта матрица положительно определенной (локальный минимум) или отрицательно определенной (локальный максимум).
Метод множителей Лагранжа можно распространить на случай, когда задача имеет несколько ограничений в виде равенств. Рассмотрим общую задачу, в которой требуется
Минимизировать f(x)
при ограничениях =0, k=1, 2, ..., К.
Функция Лагранжа принимает следующий вид:
L(x,u)=f(x)-
Здесь —множители Лагранжа, т.е. неизвестные параметры, значения которых необходимо определить. Приравнивая частные производные L по х к нулю, получаем следующую систему n уравнении с n неизвестными:
………..
Если найти решение приведенной выше системы в виде функций вектора u оказывается затруднительным, то можно расширить систему путем включения в нее ограничений в виде равенств
Решение расширенной системы, состоящей из n+К уравнений с n+К неизвестными, определяет стационарную точку функции L. Затем реализуется процедура проверки на минимум или максимум, которая проводится на основе вычисления элементов матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функция х, подобно тому, как это было проделано в случае задачи с одним ограничением. Для некоторых задач расширенная система n+К уравнений с n+K неизвестными может не иметь решений, и метод множителей Лагранжа оказывается неприменимым. Следует, однако, отметить, что такие задачи на практике встречаются достаточно редко. 3. Условия Куна-Таккера В предыдущем разделе было установлено, что множители Лагранжа можно использовать при построении критериев оптимальности для задач оптимизации с ограничениями в виде равенств. Кун и Таккер обобщили этот подход на случай общей задачи нелинейного программирования с ограничениями, как в виде равенств, так и в виде неравенств.
Рассмотрим следующую общую задачу нелинейного программирования:
минимизировать(0)
при ограничениях(1)
(2)
Определение:
Ограничение в виде неравенстваназывается активным, или связывающим, в точке , если , и неактивным, или несвязывающим, если
Если существует возможность обнаружить ограничения, которые неактивны в точке оптимума, до непосредственного решения задачи, то эти ограничения можно исключить из модели и тем самым уменьшить ее размеры. Основная трудность заключается при этом в идентификации неактивных ограничений, предшествующей решению задачи.
Кун и Таккер построили необходимые и достаточные условия оптимальности для задач нелинейного программирования, исходя из предположения о дифференцируемости функций . Эти условия оптимальности, широко известные как условия Куна—Таккера, можно сформулировать в виде задачи нахождения решения некоторой системы нелинейных уравнений и неравенств, или, как иногда говорят, задачи Куна—Таккера.
3.1. Условия Куна—Таккера и задача Куна—ТаккераНайти векторы,удовлетворяющие следующим условиям
(3)
(4)
(5)
(6)
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Информатика, ВТ, телекоммуникации (Реферат) |
Тема: Нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Линейное и нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Линейное и нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (п)) |
Тема: Нелинейное мышление и нелинейная архитектура |
Предмет/Тип: Строительство (Реферат) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы