- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя »
ограничений
min
Метод исключения переменных применим лишь в тех случаях, когда уравнения, представляющие ограничения, можно разрешить относительно некоторого конкретного набора независимых переменных. При наличии большого числа ограничений в виде равенств, процесс исключения переменных становится весьма трудоемкой процедурой. Кроме того, возможны ситуации, когда уравнение не удается разрешить относительно переменной. В частности, если в примере 1 ограничениезадать в виде
то получить аналитическое выражение какой-либо из переменных через другие не представляется возможным. Таким образом, при решении задач, содержащих сложные ограничения в виде равенств, целесообразно использовать метод множителей Лагранжа, описание которого дается в следующем разделе.
2.2. Множители ЛагранжаС помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде равенств. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые множителями Лагранжа.
Рассмотрим задачу минимизации функции n переменных с учетом одного ограничения в виде равенства:
Минимизировать(3)
при ограничениях(4)
В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации:
минимизировать L(x,u)=f(x)-u*h(x)(5)
Функция L(х;u) называется функцией Лагранжа, u — неизвестная постоянная, которая носит название множителя Лагранжа. На знак u никаких требований не накладывается.
Пусть при заданном значении u=u0 безусловный минимум функции L(x,u) по х достигается в точкеиудовлетворяет уравнению . Тогда, как нетрудно видеть, x0 минимизирует (1) с учетом (4), поскольку для всех значений х, удовлетворяющих (4),и L(x,u)=min f(x).
Разумеется, необходимо подобрать значение u=u° таким образом, чтобы координата точки безусловного минимума х° удовлетворяла равенству (4). Это можно сделать, если, рассматривая u как переменную, найти безусловный минимум функции (5) в виде функции u, а затем выбрать значение u, при котором выполняется равенство (4). Проиллюстрируем это на конкретном примере.
Пример 2
Минимизировать
при ограничении=0
Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде:
минимизироватьL(x,u)= -u
Решение. Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим
Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка х° минимуму, вычислим элементы матрицы Гессе функции L(х;u), рассматриваемой как функция х,
,
которая оказывается положительно определенной. Это означает, что L(х,,u) — выпуклая функция х. Следовательно, координаты, определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение u находится путем подстановки значенийив уравнение =2, откуда 2u+u/2=2 или . Таким образом, условный минимум достигается приии равен min f(x)=4/5.
При решении задачи из примера 2 мы рассматривали L(х;u) как функцию двух переменныхии, кроме того, предполагали, что значение параметра u выбрано так, чтобы выполнялось ограничение. Если же решение системы
,j=1,2,3,…,n
в виде явных функций u получить нельзя, то значения х и
- 1
- 2
- 3
- 4
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Информатика, ВТ, телекоммуникации (Реферат) |
Тема: Нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Линейное и нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Линейное и нелинейное программирование |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (п)) |
Тема: Нелинейное мышление и нелинейная архитектура |
Предмет/Тип: Строительство (Реферат) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы