Читать реферат по информатике, вычислительной технике, телекоммуникациям: "Динамическое программирование и вариационное исчисление" Страница 4

(Назад) (Cкачать работу)

За критерий качества управления принимается интегральная оценка вида

J(u)= ,имеющая физический смысл потерь, где Т- время протекания процесса управления, a Q[x(t), u(t)]=q(t) - мгновенные потери в момент t при состоянии системы x(t) и управлении u(t). Добавочными ограничениями могут быть ограничения, накладываемые на количество ресурсов или пределы изменения некоторых параметров, выражающиеся математически соотношением

.

Как было установлено ранее, оптимальным называется такое управление u* из множества допустимых управлений U, при котором для объекта, описываемого дифференциальным уравнением, и заданных огра­ничениях на используемые ресурсы критерий качества управления принимает минимальное (максимальное) значение.

Сформулированная подобным образом задача оптимального управления относится к классу вариационных задач, решением которых занимается раздел математики, получивший название вариационного исчисления. Величина J(u) получила название функционала. В отличие от функции, например, f(x), численные значения которой задаются на множестве значений аргумента х, численные значения функционала J(u) задаются на множестве всевозможных управлений u(t). Задача нахождения оптимального управления сводится к тому, чтобы из множества допустимых управлений U выбрать такое, при котором функционал J(t) принимает минимальное численное значение.

Обычно задачи, требующие минимизации функционала, подчиненного дифференциальному соот­ношению, при наличии интегрального ограничения заменяются минимизацией нового функционала

J(u)= + λ,

подчиненного только дифференциальному соотношению. Параметр λ, в функционале, получивший название множителя Лагранжа, в задачах оптимизации управления играет роль «цены» ограниченных ресурсов. Его значение находится из граничных условий вариационной задачи.

Возможность упрощения вариационной задачи с интегральными ограничениями посредством введения множителей Лагранжа вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Если u(t)-оптимальное управление, при котором функционал J(u)=+λ достигает абсолютного минимума и выполняется ограничение , тогда при u(t) достигается абсолютный минимум функционала J(u)=, подчиненного ограничению.

Доказательство: следует от противного. Пусть v(t)-другое управление, отличное от u(t), причем такое, что

Похожие работы