Читать реферат по транспорту, грузоперевозкам: "Моделирование автотранспортного потока" Страница 7

(Назад) (Cкачать работу)

Уравнение (4) также демонстрирует наличие ударных волн. Его решение было впервые предложено Лайтхиллом и Уиземом (1955) и независимо Ричардсом (1956). Аналитическое решение уравнения (4) в общем случае сложно и в практических расчетах не используется. Для частного случая, на участке дороге без съездов-въездов можно положитьили(равновесный поток), то есть Перепишем теперь уравнение (4) в виде: ,Функция f (ρ), вообще говоря, произвольна. Если положить связь скорость-плотность линейной (Гриншилдс, 1934), то уравнение (25) примет вид Уравнение (25) решается методом характеристик.

Анализ решения уравнения (26) приводит к следующим выводам:

· плотность ρ постоянна вдоль семейства характеристик;

· наклон характеристик равен тангенсу наклона кривой плотности потока в точке, представляющей состояние потока на границе, с которой выходят эти характеристики;

· плотность в любой точке фазовой области (x,t) находится проведением собственных характеристик через эту точку.

Пересечение характеристик объясняется существованием ударных волн, так как в точке пересечения плотность имеет два значения, что физически невозможно. Математически ударная - разрыв ρ, q или v. Скорость ударной волны определяется наклоном линии, соединяющей два состояния потока (восходящий и нисходящий) гдепредставляют течение потока вниз, а- вверх. Когда , ударная волна движется вниз относительно дороги, если- вверх.

Гидродинамические модели второго порядка-1

Рассмотренные модели выше имеют следующие ограничения:

• стационарность соотношения скорость-плотность (средняя скорость движения при определённой плотности устанавливается мгновенно);

• колебательные решения, описывающие возникновение неустойчивости в виде регулярных старт-стоп волн с зависящим от амплитуды временем колебания не могут быть выведены из уравнений кинематических волн;

• не позволяют описать явление гистерезиса - возврат потока в устойчивое состояние при меньших значениях плотности.

В реальном потоке плотность не меняется скачками. Водители обычно снижают скорость при увеличении плотности машин впереди, и наоборот. Поэтому q зависит еще и от градиента плотности. ,где ν - некоторая положительная постоянная величина.

В силу (21) и (29) имеем Умножив (30) на c′(ρ), перепишем его в виде ,При аппроксимации Q(ρ) квадратичной функцией, c(ρ) будет линейна по ρ, а c′′(ρ) = 0. Таким образом, уравнение (31) принимает вид уравнения Бюргерса. где членописывает образование “пробок” - быстрые машины догоняют медленные, возникает скачок плотности. Члензадает конечную ширину этого скачка. Уравнение Бюргерса (32) можно рассматривать как одномерное уравнение Навье-Стокса для сжимаемой жидкости с единичной плотностью. Нелинейное уравнение (32) сводится к линейному уравнению теплопроводности заменой Коула-Хопфа. При изучении свойств транспортного потока представляют интерес также и другие версии уравнения Бюргерса.

Гидродинамические модели второго порядка-2

Недостатком модели Лайтхилла-Уизема является допущение о равновесном значении скорости при данной плотности автомобилей. Это не позволяет адекватно описывать ситуаций вблизи неоднородностей дороги (въезды, съезды и сужения).

Похожие работы