Читать реферат по транспорту, грузоперевозкам: "Моделирование автотранспортного потока" Страница 6

(Назад) (Cкачать работу)

Можно построить макроскопическую модель, в которой уравнение Гриншилдса является частным случаем. Рассмотрим связь между скоростью v и плотностью ρ автомобилей на дороге. В общем случае, когда плотность ρ повышается, водители снижают скорость и наоборот, поэтому . где x(t) - координата движения элемента потока.

Проследим изменение скорости для некоторого передвигающегося элемента потока во времени, которое определяется как полная производная по времени ,Из (4) следует соотношение,которое после подстановки (10) принимает вид Так как согласно (9) соотношение (12) можно переписать в виде где v′ = dv/dρ, а отрицательный коэффициент пропорциональности можно интерпретировать как вязкость в жидкости. Для классической сжимаемой жидкости уравнение (14) называется уравнением Эйлера, в этом случае: где C - неотрицательная константа с размерностью скорости.

Принято рассматривать более общий класс моделей, в которых ,Уравнение (15) соответствует случаю, следовательно, из уравнений (14) и (15) . Решением этого уравнения будет ,при n = −1, и ,при .

Модель (17) была впервые получена Гринбергом. Обозначив за - скорость при ρ = 0, для значений n ≤ 0, можно записать .Уравнение (6), впервые полученное Гриншилдсом, является частным случаем уравнения (19) при n = 1.

Модель Лайтхилла-Уизема. Кинематические волны.

При построении модели были приняты следующие допущения:

· транспортный поток непрерывен, его плотность ρ(x, t) есть число машин занимающих единицу длины дороги;

· величина потока q(x,t) равна числу машин пересекающих черту x за единицу времени, определяется локальной плотностью ρ: · скорость потока равна ,т.е. средняя скорость является функцией плотности

· на участке дороги без съездов-въездов количество машин сохраняется (7).

Уравнения (20) и (7) образуют полную систему. После подстановки получим, ,где- скорость распространения возмущений. Соотношениеиграет важную роль в теории транспортных потоков и называется фундаментальной диаграммой (рис.3). В модели Лайтхилла-Уизема эта зависимость непрерывна, следовательно, предельная пропускная способность участка дороги определяется плотностью потока. Рис 3. Фундаментальная диаграмма транспортного потока Общий вид решения нелинейного уравнения (21): где F - произвольная функция. Соотношение (22) описывает бегущую волну, рассматриваемую как волну уплотнения в среде. Волны типа (22) называют кинематическими волнами, что подчеркивает их кинематическое происхождение в противоположность динамической природе акустических и упругих волн.

Ударные волны в транспортном потоке

Анализ рассмотренных моделей показал существование области неустойчивости на кривых q(v). Рассмотрим модель Гриншилдса (6) (случай n=1). Пусть скоростьлежит в пределах ,так что. Если по какой-либо причине скорость некоторой части потока понизится на, интенсивность движения понизится на . Плотность этой части потока ρ повысится, и скорость будет далее снижаться. Возмущение скорости является незатухающим, что и демонстрирует неустойчивость поведения транспортного потока. В этих случаях автомобили в потоке вынуждены неоднократно трогаться с

Похожие работы