Читать поиск информации по математике: "Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Пошукова робота на тему:

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Неявні функції , їх диференціювання.

План

Диференціал функції.Геометричний зміст диференціала.Лінеаризація функції.Диференціал складної функції.Повний диференціал функції декількох змінних.Достатні умови диференційованості функції.Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.Інваріантність форми диференціала.Диференціювання функцій, заданих параметрично.Неявні функції, їх диференціювання.

1. Диференціал функції

1.1 Означення диференційованої функції

            Означення. Функція  називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

                                                       (6.48)

де - число, а  прямує до нуля, коли приріст  прямує до нуля.

            Означення. Функція  називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

   (6.49)   де

 - числа;  і - нескінченно малі при  (при ).

            Теорема. Для того щоб функція  в точці  була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність (6.48) має місце, коли стала  дорівнює саме цій похідній:

                                                       (6.50)

                  Наслідок. Якщо функція  в точці  має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.

            Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови  випливає .

            Для функції двох змінних  умова диференційованості  жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.

            Теорема  (необхідна умова диференційованості). Функція  диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.

            Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція  має частинні похідні за змінними  і якщо ці частинні похідні неперервні в цій самій точці , то функція  диференційована в цій точці.

            Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.

1.2 Диференціал

Диференціал функції однієї змінної . Зазначимо, що доданки в рівності (6.50) відіграють неоднакову роль. Так, другий додаток  при  є величина вищого порядку малості, ніж ,

тоді як перший доданок , якщо  і , є величина одного порядку малості з . Крім того, другий доданок в рівності (6.50) при  і  є величина вищого порядку малості, ніж перший,

            Отже, перший доданок  в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.

Означення. Добуток  називається диференціалом функції в точці  і позначається символом  або ,

                   , .                (6.51)

Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають . Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду

,

або

                                                                            (6.52)

Користуючись

Похожие работы