(Назад)
(Cкачать работу)співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:
1. , .
2. , .
3. , .
4. , .
5. , .
6. , .
7. , .
8. , .
9. , .
10. , .
11. , .
12. , .
13. , .
14. , .
15. , .
16. , .
17. , .
18. , .
Властивості диференціала. Якщо і - диференційовані функції, то безпосередньо із визначення диференціала і властивостей похідних маємо такі властивості диференціала:
1) (),
2) ,
3) ,
4) .
Геометричний зміст диференціала. Нехай графік диференційованої функції має вигляд, зображений на рис. 6.6 (крива ).
Візьмемо на кривій точки і . У точці проведемо дотичну до кривої . Тоді з трикутника знайдемо довжину відрізка :
або
. (6.53)
Рівність (6.53) і характеризує геометричний зміст диференціала: диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядуваній точці.
Рис.6.6
Механічний зміст диференціала. Припустимо, що матеріальна точка рухається за відомим законом
де - диференційована функція при деякому значенні часу . Тоді функція має диференціал
,або .
Добуток виражає шлях, який точка проходить за час , рухаючись із сталою швидкістю .
Отже, механічне тлумачення диференціала функції таке: диференціал функції виражає той шлях, який точка пройшла б за час , якби вона рухалася прямолінійно і рівномірно зі сталою швидкістю .
6.6.3. Повний диференціал функції двох змінних
Означення повного диференціала. Нехай функція в деякій області неперервна і має частинні похідні та .
Виберемо в цій області довільну точку . Надамо приросту обом аргументам, тобто візьмемо точку
. Для приросту
одержуємо такий вираз:
(6.54)
При і останні два доданки є нескінченно малими вищого порядку, оскільки і . Перших два доданки складають головну частину у виразі повного приросту .
Означення. Головна, лінійна відносно і частина приросту функції називається повним диференціалом функції двох змінних і позначається або :
. (6.55)
(Легко бачити, що це означення приводить до введеного вище поняття диференціала функції однієї змінної, якщо замість розглядати функцію ).
Приклад. Знайти повний диференціал функції .
Р о з в ’ я з о к.
В будь-який точці .
Зауваження. Означення повного диференціала легко узагальнюється на випадок диференційованої функції будь-якого числа змінних.
Повним диференціалом функції в даній точці називається головна, лінійна відносно приросту всіх аргументів частина повного приросту функції.
Приклад. .
Р о з в ' я з о к.
В будь-які й точці
.
Означення дотичної площини і нормалі до поверхні. Є кілька еквівалентних між собою означень дотичної площини до поверхні. Ми дамо означення, яке є природним узагальненням означення дотичної (прямої) до кривої (рис. 6.7).
Нехай - точка даної поверхні. Розглянемо на поверхні другу, змінну точку і проведемо січну пряму .
Площина, що проходить через точку , називається дотичною площиною до поверхні в точці , якщо кут між січною і цією площиною прямує до нуля, коли
Похожие работы
Интересная статья: Основы написания курсовой работы