Читать курсовая по математике: "Теорема Силова" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

замкнутость – для любого a,bG элемент ab G;ассоциативность – для любых a,b,c G справедливо равенство (ab)c=a (bc) ;существование нейтрального элемента – для любого aG существует элемент eG такой, что ae = ea=a;существование обратного элемента – для любого существует элемент a-1G такой, что aa-1=a-1a=e.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если относительно операции определенной во всей группы подмножество само является группой.

Предложение 1.1.1. Если подмножество H элементов группы G содержит вместе с двумя элементами a, b их произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a-1, то H есть подгруппа G.

Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa-1 при aH и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ■

Группа называется циклической, если она состоит из всех целых степеней одного элемента aG, то есть G={an | nℤ} и обозначается G= – циклическая группа, порожденная элементом a .

Теорема 1.1.2. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической группой.

Доказательство. Действительно, если подгруппа H группы G= содержит только нулевую степень элемента g, то в H имеется только один элемент – единица e группы G (поскольку g0=e). В этом случае, очевидно, H=.

Если же в подгруппе H содержится какая-нибудь ненулевая степень элемента g, то в ней содержится и некоторая положительная степень g, так как вместе со всяким элементом gk в подгруппу H входит и обратный ему элемент g–k. Пусть n – наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H, и h=gn. Покажем, что H=, то есть, что H исчерпывается различными степенями элемента h:

…, h-2, h-1, h0=e, h1, h2, ….

Допустим противное, получим, что в H содержится элемент gs и s не делиться на n. Но тогда s можно представить в виде nq+r, где 00 другой показатель элемента. Тогда по теореме о деление с остатком получаем m=nq+r, 0≤r≤n-1 и am=anq+r=(an)q∙ar=e∙ar=ar, так как 0≤r≤n-1 то r может равняться только нулю и поэтому m=nq и, очевидно, m делится n. Лемма доказана. ■

Показатель группы G называется такое натуральное число m, что xm=e для любого xG. Порядок группы принадлежит и числу его показателей.

Теперь возвратимся к доказательству Леммы 2.1.1. По условию леммы порядок группы G делиться на p. Если n делиться p, то в силу доказанного выше, в G существует элемент x такой что делиться на p. Пусть , sℤ, тогда xs≠e xps=(xs)p=e, то есть элемент xs имеет порядок p. И, следовательно, порожденная им циклическая подгруппа тоже будет иметь порядок p. Лемма 2.1.1. доказана. ■

a) (Существование) Для каждой степени pα (α≥1) делящий n, в G существует подгруппа порядка pα.

b) (Вложение) Если pα делит порядок G, то каждая подгруппа порядка

pα–1из G вложена в некоторую подгруппу порядка pα из G.

Доказательство. а) Доказательство проведем индукцией по n.

При n=1 теорема очевидна (очевидна также теорема n=2, n=3).Предположим, что теорема верна для всех групп порядков меньше n.

Далее рассмотрим два случая:

Если Z центр группы G и порядок Z делиться на p. Тогда по лемме 2.1.1. так как Z – абелева группа и его порядок, делиться на p, то в Z существует подгруппа порядка p. То есть существует zZ такое, что , но любая подгруппа центра

Похожие работы