Читать курсовая по математике: "Теорема Силова" Страница 5

(Назад) (Cкачать работу)

Таким образом, каждый элемент группы G записывается и притом единственным образом в виде (2), то есть смотри 4 п. 2 ■ 2.3 Описание групп порядка pq Теорема Силова часто дает весьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не очень большие позволяет описать полностью.

Пусть , p и q простые числа.

Рассмотрим первый случай, когда p=q, то есть порядок . Тогда по теореме 1.4.4. G – абелева.Пусть p и q по-прежнему простые числа, но p1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Из равенства (1) индукцией по x получаем , откуда , (2) для всех целых x, y.

При x=p, y=1 из равенства (2) будем иметь вид так как , то получаем или . Известно, что если элемент х группы G имеет порядок n, то тогда и только тогда когда . Следовательно, , то есть или .

Кроме того, из равенства (2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слева на ах: далее полученное равенство домножаем слева az: из полученного равенства умножаем, справа на элемент bt получаем

(3) Обратно покажем, что если , и r не сравнимо с 1 по (mod q) то формула (3) определяет неабелеву группу порядка pq.

Таким образом с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq, при условии, что p

Похожие работы