Читать контрольная по математике: "Численные методы" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Задание № 1 Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными х1,х2, х3, х4 с точностью до 10-4 следующими методами:

а) методом Гаусса;

б) методом простой итерации;

в) методом Зейделя.

Проверкой полученного решения является совпадение найденных разными методами решений с заданной точностью. а) метод Гаусса.

Найти решение системы уравнений: 1. Сформируем расширенную матрицу: Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

2. Разделим строку 1 на a11 = 1.42

Получим матрицу: 3. Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a21= 0.63

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 4. Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a31= 0.84

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица:

5. Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a41= 0.27

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 6. Разделим строку 2 на a22 = -0.57197183098592

Получим матрицу: 7. Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a32= -2.4192957746479

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 8. Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a42= 1.3091549295775

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 9. Разделим строку 3 на a33 = -6.4314897808422

Получим матрицу: 10. Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a43= 4.0531913321842

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 11. Разделим строку 4 на a44 = -1.0916757937353

Получим матрицу:

12. Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную на a34= 0.62435409222966

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 13. Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на a24=1.6733563161783

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 14. Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на a14=0.59859154929577

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица: 15. Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a23=2.5461708938685

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 16. Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a13=0.29577464788732

Вычитаемая строка: Модифицированная матрица: 17. Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a12=0.22535211267606

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица: Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице: Заданная система уравнений имеет единственное решение: б) метод простой итерации.

Найти решение системы уравнений: Заметим, что метод простой итерации расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность e = 10-4.

Приведем систему к виду: Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: (1.32, -0.44, 0.64, 0.85). Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

в) метод Зейделя.

Найти решение системы уравнений: Заметим, что метод Зейделя расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов: Пусть требуемая точность e = 10-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем: (0, 0, 0, 0).

= 0.92957746478876. При вычислении x2 используем уже полученное значение x1: При вычислении x3 используем уже полученное значение x1 и x2: При вычислении x4 используем уже полученное значение x1, x2 и x3: Шаг 2. Шаг 3.

Похожие работы