Читать диплом по математике: "Задача Стефана о фазовом переходе" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Курсовая работа

по дисциплине "Уравнения в частных производных"

на тему: "Задача Стефана о фазовом переходе" СодержаниеВведение

. Автомодельное решение классической задачи Стефана

. Численные методы, применяемые для решения задачи Стефана

.1 Метод ловли фазового фронта в узел сетки

.2 Метод выпрямления фронтов

.3 Метод сглаживания коэффициентов

.4 О выборе параметра сглаживания

.5 Разностные схемы сквозного счета

Заключение

Список используемой литературы Введение Математические модели процессов тепло- и массопереноса в средах с фазовыми переходами, представляют собой нелинейные системы дифференциальных уравнений. Даже при постоянных коэффициентах уравнений вследствие наличия в ней условия типа Стефана на границе фазового перехода модель является нелинейной и основным методом ее решения служат численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение аналитического метода. Таким путем получают так называемые автомодельные решения, которые характеризуются подобием пространственных распределений искомых величин в различные моменты времени. Такие решения строят для одномерных задач в полупространстве с постоянными граничными и начальными условиями. Автомодельные решения позволяют описать изучаемые процессы при временах и на расстояниях от границы достаточно больших, чтобы исчезло влияние начальных и граничных условий, но при временах и на расстояниях достаточно малых, чтобы система была еще далека от предельного состояния.

математический модель задача стефан 1. Автомодельное решение классической задачи СтефанаКлассической задачей Стефана называют простейшую одномерную задачу промерзания (оттаивания), кристаллизации (плавления), когда теплофизические характеристики, начальные и граничные условия принимаются постоянными. Рассмотрим процесс промерзания грунта. Координатную ось 0х направим вглубь грунта. Пусть начальное распределение температуры постоянно и равно С>0. Если на поверхности х=0 температура мгновенно изменяется и все время поддерживается постоянной, отличной по знаку от начальной температуры, и равной 0. Тогда η(T-)=η(Ф) и ∂η(Ф)∂t=δ(Ф)(∂Ф⁄∂t). Элемент объема dV=dσdn, где dσ - элемент площади плоских участков, параллельных. Так как gradФ направлен по нормали к поверхности Ф(Т)=0, то интегрирование по нормали можно заменить интегрированием по Ф; при этом, принимая во внимание следующие соотношения

при ||→0, получим

где - среднее поперечное сечение цилиндра.

Для преобразованиявоспользуемся формулой Остроградского-Гаусса

при ||→0, интеграл по обратится в нуль, а интегралы по ||,|| перейдут в интеграл по

Подставим сюда выражение

и заменим единичный вектор нормали из равенства

Тогда для получим следующее выражение:

Вычислив значение подынтегрального выражения в точке Р, окончательно имеем

Из уравнения (1.59) следует=, т.е. получаем условие (1.56).

Таким образом, решение задачи типа Стефана (1.53)-(1.58) сводится к решению уравнения (1.59) с дополнительными условиями (1.55), (1.57), (1.58). Левая часть уравнения (1.59) содержит сосредоточенную теплоемкость Lρδ(Т-) на поверхности фазового перехода Т=, т.е. она обращается в нуль при Т≠.

Похожие работы