Читать диплом по математике: "Метризуемость топологических пространств" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Пример. На плоскостидля точекиопределим расстояние тремя различными способами:

1. ,

2. ,

3. .

Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1)

2) так каки , то вторая аксиома очевидна:

3) рассмотрим точки,, и докажем следующее неравенство:Возведем это неравенство в квадрат:

.

Так каки(поскольку ) и выражениеесть величина неотрицательная, то неравенствоявляется верным.

2. 1)

2) так каки , то вторая аксиома очевидна: .

3) рассмотрим точки,, и докажем следующее неравенство: .

Тогда и .

3. 1)

2) так каки , то вторая аксиома очевидна:

.

3) рассмотрим точки,,.

Неравенство:- очевидно.

Введенные метрикииэквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрикапорождает топологию , - топологиюи - топологию . Достаточно показать два равенства.

Покажем, что .

Рассмотрим множество,открытое ви покажем, чтооткрыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогдаоткрыто и в .

Аналогично доказывается, что . А тогда и .

Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т.е.и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .Следствие. Метризуемое пространство является- пространством. Определение. Расстоянием от точкидо множествав метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множествофиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точкерасстояние , непрерывна на пространстве .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функцияназывается непрерывной в точке , если .

Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольноговозьмем . Тогда из неравенстваследует . Непрерывностьдоказана. Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любогорасстояние отдо множестваположительно.

Доказательство.

Множествозамкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точкапринадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , тодля некоторого . Поэтомудля любого . Следовательно, , что и требовалось доказать. Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множестваиимеют непересекающиеся окрестности.

Так каки множествозамкнуто по условию, то для любогопо лемме .

Обозначимидля произвольныхи .

Множества иоткрыты как объединения открытых шаров ви содержат соответственно множестваи .

Следовательно,- окрестность множества ,- окрестность множества .

Докажем, что .

Предположим, что , то есть . Тогда из условияследует, чтодля некоторого . Отсюда .

Аналогично получаемдля некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем , для некоторой

Похожие работы