Читать диплом по математике: "Метризуемость топологических пространств" Страница 5

(Назад) (Cкачать работу)

Для каждой точкирассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактностииз этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точексчетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогдадля некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество всодержит точку этого множества. Что и требовалось доказать. Определение. Диаметром непустого множествав метрическом пространственазывается точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множестваи обозначается .

.

Если , то множествоназывают неограниченным. Определение. Метрикаметрического пространстваназывается ограниченной, если .Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрикапорождает топологию топологического пространства . Положимдля любых .

Докажем следующее:

-метрика на ; метрикииэквивалентны;.

1. Проверим выполнимость аксиом.

1) ;

2);

: Докажем, что .

Известно, что .

Еслии , тои , тогда . Так как , то . Еслиили , то , а , тогда .

2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть - открытое множество в , докажем, что множествооткрыто в . Для любогосуществуеттакое, что . Можно считать, что . Тогдаявляется окрестностью втого же радиуса . Следовательно,открыто в топологии .

В обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Из всего выше сказанного следует, что метрикииэквивалентны.

3. Из формулыследует, чтодля любых . Отсюда .

Определение.- топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространствназывается топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , гдеоткрыто вдля любогоидля всех индексов кроме конечного их числа. Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

Доказательство. Пусть- метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множествесуществует ограниченная метрикасоответственно.

Рассмотрим .

Покажем:

1.является метрикой наи.

2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .

1. Проверим выполнимость аксиом метрики.

1) (так как- метрика по условию).

2) , .

Так как (-метрика по условию), то , тогда .

3) Докажем, что .

, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:

, тогда .

Теперь докажем, что .

, гдегеометрическая прогрессия, а , тогда .

2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное числои открытые множества , такие, что .

Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:

.

Дляположимидля .

Для каждой точки. Рассмотрим

Похожие работы