Читать диплом по математике: "Метризуемость топологических пространств" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Определение. Открытым шаром или окрестностью точкирадиусав метрическом пространственазывается совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом– центр шара,– радиус шара. Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в-окрестность точки .

Доказательство. Выберем в качестве:.

Достаточно доказать для произвольногоимпликацию . Действительно, если , то

Получаем, что , что и требовалось доказать. Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

Свойство первое очевидно, так как для любого выполняетсядля любого . Проверим второе свойство.

Пусть ,и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , чтоТеорема доказана. Определение. Топологическое пространствометризуемо, если существует такая метрикана множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства . Аксиомы отделимости Аксиома . Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку. Предложение.является - пространством тогда и только тогда, когда для любогомножествозамкнуто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так какявляется -пространством, то существует окрестность , не содержащая .

Рассмотрим

Докажем, что . Применим метод двойного включения:

Очевидно, чтопо построению множества . .

Пустьотсюда для любогоотличного отсуществует окрестность , значит , тогда .

Множество - открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность. Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку

Что и требовалось доказать. Аксиома( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности. Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности. Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам() называются -пространствами (-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами). Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности. Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестноститочкинайдется окрестность из этой системы, содержащаяся в . Определение. Если точкатопологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности. Определение. Две метрикиина

Похожие работы