Читать диплом по математике: "Метризуемость топологических пространств" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра математического анализа и МПМ Дипломная работа Метризуемость топологических пространств Выполнила

студентка 5 курса

математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись) Научный руководитель

к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись) Рецензент _______________________________

(подпись) Допущена к защите в ГАК Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.

(подпись)

«_____» _______________2004 г.Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.

(подпись)

«_____» _______________2004 г. КИРОВ

2004

Содержание Введение 2Глава I. Основные понятия и теоремы 3Глава II. Свойства метризуемых пространств 10Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств 22Библиографический список 25

Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».

В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.

Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:

1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

2. Метризуемое пространство нормально.

3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

5. Для метризуемого пространстваследующие условия эквивалентны:

1)сепарабельно,

2)имеет счетную базу,

3)финально компактно.

6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства)элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любыхииз и удовлетворяющей трем условиям:

(аксиома тождества); (аксиома симметрии); (аксиома треугольника).

Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией вназывается любая системаего подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:

Само множествои пустое множество принадлежат . Объединениелюбого (конечного или бесконечного) и пересечениелюбого конечного числа множеств изпринадлежат .

Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства . Определение. Совокупностьоткрытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество вможет быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .

Теорема 1. Всякая базав топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:

любая точка

Похожие работы