Читать диплом по математике: "Собственные колебания пластин" Страница 6

(Назад) (Cкачать работу)

, т.к. мы ищем нетривиальные решения, , следовательно

Итак, только при значениях равных , существуют нетривиальные решения задачи (2.2.11) и имеют вид

.

Они определяются с точностью до произвольного сомножителя, который мы положили равным единице.

Аналогично получаем решение задачи (2.2.12):

Собственным значениям , таким образом, соответствуют собственные функции

,

где- некоторый постоянный множитель. Выберем его так, чтобы норма функцийс весом единица была равна единице

.

Вычислим отдельно интегралы в равенстве:

(2.2.13)

Тогда,

.

Число собственных функций, принадлежащихзависит от количества целочисленных решений n и m уравнения

.

Собственным значениямсоответствуют решения уравнения :

,

гдеи- произвольные константы.

Возвращаясь к начальной задаче для уравненияс дополнительными условиями (2.2.4) – (2.2.5), получаем, что частные решения будут иметь вид

.

Тогда общее решение запишется в виде

,

гдеопределяется формулой (2.2.13), а коэффициентыиравны:

,

.

В задачах, рассмотренных в этом параграфе, необходимо было найти функцию, описывающую отклонение мембраны от положения равновесия при одинаковых начальных условиях, но при различных граничных условиях. В результате были получены две разные функции. Таким образом, можно сказать, что прогиб мембраны напрямую зависит от граничных условий.

Собственные колебания круглой мембраны

Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.(2.3.1)

Уравнение колебаний круглой мембраны в полярных координатах имеет вид

.

Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях

(2.3.2)

(2.3.3)

и граничных условиях

.

Применим метод разделения переменных. Пусть

.

Подставляем полученное выражение для функциив уравнение (2.3.1), получаем:

.(2.3.4)

Так как нужно найти нетривиальное решение задачи, то , полученное равенство можно поделить на . Тогда

.

Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции

,(2.3.5)

решением, которого будет функция (см. 2.2)

,

и следующую задачу на собственные значения для функции :(2.3.6)

К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть , подставляем в уравнение для функции .

Поделим данное равенство на :

Так как левая часть соотношения () функция только переменной r, а правая () - только переменной , то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно . При данном предположении получаем:

однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции :

Нетривиальные периодические решения длясуществуют лишь прии имеют вид (см. 2.2):

.

уравнение для определения функции

(2.3.7)

(2.3.8)

Из граничных условий для функцииполучаем граничные условия для функции :

Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.

Введем новую переменную

Подставляем

Похожие работы