Читать диплом по математике: "Собственные колебания пластин" Страница 7

(Назад) (Cкачать работу)

(2.3.9)

Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями

,

общее решение, которого имеет вид

,

где- функция Бесселя первого рода,- функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).

Из условияследует, что , т. к. при .

Из условияимеем

, где .

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество вещественных корней , т.е. уравнение (2.3.7) имеет бесчисленное множество собственных значений

,(2.3.10)

которым соответствуют собственные функции

краевой задачи для нахождения функции . Всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи дается формулой (2.3.10).

Найдем норму собственных функций и получим условие ортогональности системы собственных функцийс весом r:

Для этого рассмотрим функции

Они удовлетворяют уравнениям

причем , ане удовлетворяет этому граничному условию. Вычтем из первого уравнения второе, предварительно умножив их, соответственно, наи .(2.3.11)

Переходя к пределу при , получаем неопределенность . Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя

,

получаем выражение для квадрата нормы:(2.3.12)

т.к. , то

.

Итак, получаем:

Согласно (2.3.11) при , собственные функции , принадлежащие различным собственным значениям , ортогональны с весом r . Норма этих функций определяется формулой (2.3.12). В силу общих свойств собственных краевых задач имеет место теорема разложимости:

Всякая непрерывная в интервалефункция , имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

,

причем коэффициенты разложения определяются формулой

.

Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круглой мембраны, получим для собственного значениядве собственные функции . Составим их линейную комбинацию

.

Докажем ортогональность и вычислим норму собственных функций . Посчитаем сначала для собственных функций .

Аналогичные условия имеют место для функции .

Тогда выражение для нормы функцииможно записать в виде

Воспользуемся теоремой о разложимости:

всякая непрерывная функцияс непрерывными первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд

по собственным функциям задачи о собственных значениях для круга.

Коэффициенты разложения вычисляются по следующим формулам

Вернемся к исходной задаче колебания мембраны при заданном начальном отклонении и начальной скорости, ее решение запишется в виде

Коэффициентыопределяются из начальных условий

Аналогичные формулы имеют место дляи, соответственно, для .

Решение подобной задачи о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны при тех же начальных условиях

и других граничных условиях

приведено в источнике [8], где были получены следующие результаты.

Коэффициентыопределяются из начальных

Похожие работы