Читать диплом по математике: "Собственные колебания пластин" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида(гденепрерывны в ,непрерывны в ). Подставляя функциюв уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на , получаем

.

Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функцияудовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех ) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе

.

(1.2.2)

Таким образом, должны выполняться тождественно

,

(1.2.3)

,

причем функциядолжна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях. Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решенияуравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи.

Суть метода Фурье:

ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида . Для функцииполучаем краевую задачу; решаем краевую задачу для функции . Пустьсуть собственные функции этой задачи, а- отвечающие им собственные значения; для каждого собственного значениянаходим решение уравнения (1.2.3); таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида ; возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям .Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2].

1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение

(1.3.1)

является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а . Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.

В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.

Покажем, что выражение

(1.3.2)

,

где– действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.

Продифференцируем по x выражение (1.3.2):

.

Подставляем полученные выражения в (1.3.1):

(1.3.3)

.

Обозначим через- это есть характеристический многочлен, соответствующий оператору L. Тогда (1.3.3) запишется в виде .

Характеристический многочлен получается из оператора L[y], если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины :на .

(1.3.4)

Если (1.3.2) есть решение (1.3.1), то выражение (1.3.3) равно тождественно нулю, но , следовательно

.

Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением. Если мы в качестве постояннойв выражениевозьмем

Похожие работы