Читать реферат по финансовому менеджменту, финансовой математике: "Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования" Страница 4

(Назад) (Cкачать работу)

5 руб.

4 руб.

Сколько граммов мультивитаминных комплексов каждого вида требуется на один профилактический прием, чтобы были получены все витамины не меньше требуемой нормы, и при этом их суммарная стоимость была минимальной.

Составим математическую модель задачи. Для этого введем переменные: x1 – количество комплекса «Здоровье» (гр.), x2 – количество комплекса «Долголетие» (гр.), необходимое для профилактического приема. Целевая функция выражает суммарную стоимость витаминных комплексов, которая должна быть минимально возможной f(x)= 5 x1 + 4 x2  min (1.7) Ограничения, описывающие выполнение норм по витаминам, имеют вид:

По витамину V1: 3x1 + x2  9, (1.8)

По витамину V2: x1 + 2x2  8, (1.9)

По витамину V3: x1 + 6x2 12. (1.10) При этом переменные должны быть неотрицательны: xj  0, j = 1, 2.

Снова начнем решение с построения множества планов X, для чего проведем граничные прямые, уравнения которых получаются при замене в ограничениях знаков неравенств на равенстваp1: 3 x1 + x2 = 9,

p2: x1 + 2 x2 = 8,

p3: x1 + 6 x2 = 12. Подставляя координаты точки (0,0) в неравенства (1.8)-(1.10) видим, что начало координат им не удовлетворяет и, следовательно, не входит в множество планов Х. Поэтому штриховки направлены выше и правее граничных прямых. Выделяя точки, удовлетворяющие всем неравенствам и условиям неотрицательности, получаем множество планов, изображенное на рис. 1.2. В данном примере оно не ограничено.Рис. 1.2 Изобразим целевую функцию (1.7) с помощью линий уровня. Для этого достаточно построить целевой вектор c = (5, 4) и перпендикулярно ему провести несколько прямых на множестве Х. Поскольку целевой вектор указывает направление возрастания целевой функции, а в задаче о рационе требуется найти ее минимум, то для нахождения оптимального решения будем перемещать линию уровня параллельно самой себе по множеству Х в направлении, противоположном целевому вектору. x* Рис. 1.3 Последней точкой множества планов, через которую еще проходит линия уровня будет точка пересечения прямых p1 и p2. Решая систему уранений (рис. 1.3). 3 x1 + x2 = 9

x1 + 2 x2 = 8 получим оптимальный план x1* = 2, x2* = 3. Минимальное значение целевой функции при этом будет равноf(x*) = 5∙2 + 4∙3 = 22.Следовательно, самый дешевый набор для профилактического приема состоит из 2 гр. комплекса А и 3 гр. комплекса В, и его стоимость равна 22 руб.

Теперь несложно сформулировать геометрический способ решения стандартных задач ЛП с двумя переменными:

изображается допустимый многоугольник – пересечение полуплоскостей, являющихся решениями соответствующих неравенств;изображается целевой вектор ;через допустимое множество проводится перпендикуляр к целевому вектору – это линия уровня целевой функции;путем перемещения линии уровня параллельно самой себе в направлении целевого вектора до тех пор, пока не окажется по одну сторону от перемещаемой прямой, визуально определяется точка (или точки) максимума;вычисляются координаты точки максимума (решением соответствующей системы уравнений, задающих прямые, точка пересечения которых и есть искомая точка) и максимальное значение целевой функции.

Замечание. Для определения точки минимума следует перемещать изолинию против направления целевого вектора.

В разобранных примерах оптимальный

Похожие работы