Читать реферат по финансовому менеджменту, финансовой математике: "Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Выделяя теперь точки плоскости, удовлетворяющие всем ограничениям задачи (1.1)-(1.5), то есть расположенные одновременно во всех заштрихованных полуплоскостях, получаем множество планов X. Оно представляет собой многоугольник (в данной задаче - пятиугольник). Его стороны лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы неравенств (1.2)-(1.5) заменой знаков неравенств на строгие равенства. Рис. 1.1 Для графического представления целевой функции введем понятие линии уровня (изолинии функции).

Определение. Линией уровня (изолинией) функции f(x) называется множество точек x = (x1, x2), в которых она принимает одно и то же постоянное значение f(x) = h, где h - некоторое число. Для линейной функции двух переменных f(x) = c1 x1 + c2 x2 линия уровня, соответствующая числу h, будет представлять прямую с уравнением c1 x1 + c2 x2 = h (1.6) При изменении числа h будем получать семейство линий уровня (параллельных прямых) с одним и тем же направляющим вектором c = =(c1, c2), перпендикулярным всем прямым. Известно, что вектор c = (c1, c2) для линейной функции f(x) = c1 x1 +c2 x2 указывает направление ее возрастания. Геометрически это означает, что при параллельном перемещении прямой (1.6) в направлении целевого вектора c значение целевой функции возрастает.

Построим линии уровня целевой функции f(x) = 3x1 + 2 x2 в нашей задаче. Их уравнения будут иметь вид 3x1 + 2 x2 = h. Они задают семейство параллельных прямых, зависящих от параметра h. Все прямые перпендикулярны целевому вектору c = (3, 2), составленному из коэффициентов целевой функции, поэтому для построения семейства линий уровня целевой функции достаточно построить ее целевой вектор, и провести несколько прямых, перпендикулярных этому вектору. Линии уровня будем проводить на множестве планов X, помня при этом, что при параллельном перемещении прямых в направлении целевого вектора c = (3, 2) значение функции f(x)= 3x1 + 2x2 будет возрастать. Поскольку в задаче оптимальный план должен доставлять целевой функции максимально возможное значение, то для решения задачи графически надо среди всех точек x = (x1, x2) множества планов X найти такую точку x* = (x1*, x2*), через которую пройдет последняя линия уровня в направлении целевого вектора c = (3,2). Из рисунка 1.2 видно, что искомой точкой будет точка, лежащая в вершине множества X, образованной пересечением прямых p1 и p2. Решая систему уравнений, описывающих эти прямые найдем оптимальный план x1* = 3 1/3, x2* = 1 1/3. При этом максимальное значение целевой функции будет равно f(x*) = 12 2/3. Таким образом, ежесуточно фабрика должна производить 3 1/3 тонн краски INT и 1 1/3 тонн краски EXT, получая при этом доход 12 2/3 тыс. долларов. x1 + 2 x2 = 6,

2 x1 + x2 = 8,

Пример 1.2. Лечебное предприятие закупает два вида мультивитаминных комплексов «Здоровье» и «Долголетие» с содержанием витаминов трех видов. Количество единиц этих витаминов в одном грамме мультикомплексов, необходимая их норма при профилактическом приеме и стоимость одного грамма комплексов «Здоровье» и «Долголетие» отражены в таблице

Похожие работы