(Назад)
(Cкачать работу)сингулярного спектрального анализа [6]. 1.2.2 Метод сингулярного спектрального анализа
В настоящей работе применен аппарат сингулярного спектрального анализа ("Гусеница"), разработанный и обоснованный сотрудниками Санкт-Петербургского государственного университета.
Метод "Гусеница" основан на переходе от одномерного временного ряда длиной n с равномерным шагом (x1, x2, x3,… xn) к многомерным рядам, построенным из исходного одномерного и на анализе главных компонентов. Сингулярный спектральный анализ позволяет выделить интересующие компоненты временных рядов, в частности, компоненты с заранее известным и заранее не известным периодом, сгладить исходные данные, сделать прогноз ряда.
Из исходного ряда составляется матрица Х x1 x2 x3 … xk … xm
x2 x3 x4 … xk+1 … xm+1
Х = x3 x4 x5 … xk+2 … xm+2
. …………………..….
xk xk+1 xk+2…. x2k-1 … xn. Здесь m < n - длина гусеницы, последней строкой с номером k = n - m+1 являются элементы (xk, xk+1,…,xn), причем xij = xi+1j-1. Эту матрицу можно рассматривать как m-мерную выборку объема k или m-мерный временной ряд. В некоторых приложениях могут быть вычислены средние значения mi и оценки стандартных отклонений si по столбцам. Матрица Х может быть центрирована по столбцами и нормирована на si; ниже использовано центрирование. Далее вычисляется матрица r = 1/k x xt. Если матрица Х центрирована, то r является выборочной корреляционной матрицей. Элементами матрицы r служат выражения. По обычной методике анализа главных компонентов вычисляются собственные числа и собственные векторы матрицы r, т.е. проводится её сингулярное разложение r = plpt, l - диагональная матрица упорядоченных по убыванию собственных чисел матрицы r: l1 0 0 … 0
0 l2 0 … 0
L = ………
0 0 0 …lm, P - ортогональная матрица собственных векторов матрицы R: p11 p21 … pm1
p12 p22 … pm2= …………
p1m p2m … pmm. Выполняются следующие соотношения: PT = P-1, PPT = I, L = PTRP, å li = m, I-единичная матрица.
Из последнего выражения следует, что, при умножении собственных чисел li на 1/m ×100%, получаются доли дисперсий в процентах, которые можно рассматривать как доли общей информации, содержащейся в каждом главном компоненте.
Матрицу P можно рассматривать как матрицу перехода к ортогональным составляющим (главным компонентам) XP=Y= (y1,y2,.,ym). Преобразование yj = Xpj является линейным преобразованием исходного процесса с помощью дискретного оператора свертки: В этом случае собственные векторы pjq матрицы R играют роль передаточных функций некоторых фильтров, настроенных на составляющие исходного процесса. Ширина полосы пропускания фильтра зависит от формы передаточной функции фильтра и определяется как видом собственного вектора, так и длиной интервала усреднения, т.е. длиной "гусеницы" m. Чем больше m, тем уже полоса фильтра.
Максимальное значение m равно половине длины ряда n, в этом случае при четном n матрица Х квадратная.
При выборе m, которое значительно меньше характерной ритмичности ряда (в пределе при m = 2), происходит его сглаживание.
Рассмотрение собственных векторов и главных компонентов, полученных в результате линейной фильтрации, дает информацию о структуре изучаемого процесса и свойствах его слагаемых.
В частности, среди главных компонентов можно выделить: относящиеся к тренду (медленно меняющиеся), периодические, шумовые.
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы