Читать учебное пособие по математике: "Традиционные методы вычислительной томографии" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Согласно определению радоновского образа и с учетом того, что интеграл от заданной функции вдоль прямой равен интегралу по всей плоскости произведения этой функции на - функцию, аргументом которой является левая часть уравнения (2.3), имеем [6,7]. (2.3) Интегрирование, осуществляемое по двум переменным, можно свести к интегрированию по одной переменной. Для этого введем еще одну прямоугольную систему координат , повернутую относительнона угол . Вспомним, что при переходе от одной из этих систем координат к другой координаты меняются следующим образом:

(2.4)

(2.5) Сделаем в (2.3) замену переменных (2.4) =

= (2.6) Для функции , отличной от нуля в пределах некоторой ограниченной области, ее радоновский образ также определяется выражением (2.3), только интегрирование проводится не по всей плоскости, а задается границами данной области. Так, еслиотлична от нуля внутри круга радиуса , то вместо (2.6) имеем . (2.7) В общем случае функция, описывающая радоновский образ, обладает одним важным свойством . (2.8) Физический смысл этого свойства состоит в том, что любые парыисогласно (2.1) задают одну и ту же прямую.

Приведем примеры, которые иллюстрируют вычисление радоновских образов.

Пример 1.

Пусть . Подставим это выражение в (2.6) и получим (см. Приложение А) =

=. (2.9) Из (2.9) следует, что если функцияотлична от нуля в точке , то функция, описывающая ее образ в пространстве Радона , отлична от нуля на линии, (2.10)

где .

Рисунок 5. - функция (а) и ее радоновский образ (б) Пример 2.

Пусть . Подставляя это выражение в (2.6), получим. (2.11)

Рисунок 6. Функция (а) и ее радоновский образ (б) Область, гдепринимает максимальные значения, представляет собой линию, которая определяется выражением (2.10).

Пример 3.

При(2.12)

получаем (2.13)

Рисунок 7. Функция (а) и ее радоновский образ (б)

В случае самоизлучающего объекта основной задачей ЭВТ является задача восстановления двумерного распределения источников излучения . Для простоты будем считать, что область, в которой распределены источники излучения, целиком расположена в области поглощения излучения, характеризующейся функцией распределения коэффициента ослабления. Обычно при измерениях с помощью ЭВТ, также как и при ТВТ, используют круговую схему с параллельными проекциями.

Рисунок 8. Круговая геометрия измерений в ЭВТ. В [3] показано, что для ЭВТ с постоянным коэффициентом ослабленияэкспоненциальное преобразование Радона в декартовых координатах имеет вид , (2.14) а в полярных координатах. (2.15) Выражение (2.15) можно переписать в другом виде . (2.16) 2.3 Выражения (2.3), (2.6) позволяет по функциинайти ее радоновский образ . Существует соотношение, определяющее аналогичную связь между преобразованием Фурье этих функций. Пусть- одномерное преобразование Фурье функциипо переменной , а- двумерное преобразование Фурье функциипо переменным . Согласно определению , (2.17)

. (2.18)

В трехмерном пространстве введем прямоугольную систему координат, у которой по одной оси отложены значения , а по двум другим – значенияи .

Рисунок 9. Центральное

Похожие работы