Читать статья по математике: "Пуанкаре и топология" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Пуанкаре и топология

П. С. Александров

На вопрос, каково отношение Пуанкаре к топологии, можно ответить одним предложением: он её создал; но можно ответить и циклом лекций, в которых более или менее подробно излагались бы основные топологические результаты Пуанкаре. При первом из этих двух подходов к моей сегодняшней задаче я могу считать её исчерпанной; для второго подхода я, естественно, не имею времени. Приходится искать то или иное промежуточное компромиссное решение — неудачное, как все компромиссы, и во всяком случае более близкое к первому варианту, чем ко второму; это решение может являться лишь попыткой возобновить и освежить эмоцию восхищения актом грандиозного научного творчества, который совершил великий французский геометр в области, влияние которой на всё математическое познание не только превзошло все предвидения современников, но всё ещё возрастает с каждым годом.

Пуанкаре жил в романтическую эпоху истории математических наук, когда впервые (им самим и Ф. Клейном) была доказана непротиворечивость неевклидовой геометрии, вследствие чего наши воззрения на геометрию и самоё понятие геометрического пространства несказанно расширились; когда новые геометрические идеи только что нашли своё применение (в том числе опять-таки в работах самого Пуанкаре) к специальной теории относительности — теории, уже достаточной, чтобы поколебать наши представления о мироздании, казавшиеся незыблемыми со времён Галилея и Ньютона; в эпоху, когда в абстрактных глубинах самой математики возникла теория — по мнению многих выдающихся математиков лежащая уже вне их науки, быть может, даже вне науки вообще — теория множеств, осуществившая в математике переворот столь же значительный, как переворот, произведённый в физике теорией относительности.

По своим математическим вкусам и по унаследованным им традициям, Пуанкаре был представителем классической математики — великой французской школы математического анализа, созданной Лагранжем, Лапласом, Коши. Пуанкаре представлял математический анализ в универсальном понимании этого слова, включающем и теорию функций, и все аспекты дифференциальных уравнений, и «математическую физику» в самом широком смысле. И универсальность Пуанкаре как математика отразилась в том, каким именно образом он создал новую область математики — топологию. Для Пуанкаре топология сначала и прежде всего была могущественным инструментом для решения проблем, возникающих в классических отделах математики. Ими были в первую очередь: теория функций комплексного переменного, тесные связи которой с геометрией, лишь в зародыше усмотренные Риманом, Пуанкаре впервые понял во всей их глубине; теория дифференциальных уравнений — теория, неотделимая для Пуанкаре от небесной механики; сама геометрия. Но понимая мощь топологических методов в «классической математике» и часто предвидя её там, где в его время эти методы ещё не могли быть во всю их силу применены, Пуанкаре открыл для математики и целый мир новых проблем — проблем «качественного», т.е. именно топологического характера, целый мир по своему существу недоступный не только методам, но и самому, если так можно выразиться, мировоззрению «классической» математики, в центре которой находились формула и вычисление (т.е. техника


Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы