Читать статья по математике: "Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам" Страница 4


назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

исследованную область. Они установили, что если отказаться от изучения поведения интегралов дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, в целом, т.е. при всех значениях независимой переменной, сосредоточить усилия на исследовании локальных свойств, т.е. свойств в малом, в окрестности данной точки, то эти свойства будут существенно отличаться в зависимости от того, будет ли выбранная точка обычной или особой.

Пуанкаре существенно дополнил и расширил результаты своих предшественников, показал, при каких условиях решение в окрестности неособой точки может быть разложено не только по степеням независимой переменной, но и по степеням начальных данных или малого параметра, каким образом эти ряды могут оставаться сходящимися при произвольных значениях независимой переменной.

Но сколь ни важны результаты, полученные Пуанкаре относительно поведения решений дифференциальных уравнений в окрестности обычной точки, свои главные усилия он сосредоточил на выяснении того, что происходит в окрестности особой точки.

Подводя итог этим своим исследованиям, Пуанкаре писал в «Аналитическом резюме» [3, с. 583–584]:

«Изучениеинтеграловдифференциальныхуравнений вокрестностиданной точки,какова бы нибыла его пользас точки зрениячисловыхвычислений,может рассматриватьсялишь как первыйшаг. Эти разложения,которые справедливытолько в оченьограниченнойобласти, ...немогут рассматриватьсякак истинноеинтегрирование.Поэтому ихследует принятьлишь как отправнуюточку в болееглубоком изученииинтеграловдифференциальныхуравнений,где мы былибы намеренывыйти из ограниченныхобластей, гдемы были систематическиподготовленыисследоватьинтегралыпо всей плоскости.Но это изучениеможет проводитьсяс двух разныхточек зрения.Можно задатьсяцелью выразитьинтегралыпосредствомразложений,справедливыхвсегда и болеене ограниченныхкакой-либочастной областью.При этом приходятк введениюв науку новыхтрансцендентностей;и это введениенеобходимо,так как старыеизвестныефункции позволяютинтегрироватьлишь небольшоечисло дифференциальныхуравнений.Однакоэтот способинтегрирования,который даётнам знаниесвойств уравненияс точки зрениятеории функций,один не достаточен,если мы желаемприменятьдифференциальныеуравнения квопросам механикиили физики.Наши разложенияне показалибы нам, по крайнеймере без значительноготруда, будетли, например,функция постоянновозрастатьили колебатьсямежду определённымипределами,или она будетвозрастатьсверх всякогопредела. Другимисловами, еслифункцию рассматриватьс точки зренияопределенияплоской кривой,мы ничего неузнаем об общейформе этойкривой. В некоторыхприложенияхвсе эти проблемыимеют такуюже важность,как и вычисления,и они составляютновую проблему,которую намприходитсярешать».

Мы видим, что слабое место локального рассмотрения основной арены, на которой развёртываются события, подвластные классическому анализу, указано Пуанкаре ясно и определённо. Для перехода от рассмотрения в малом к рассмотрению в целом необходимы топологические и теоретико-групповые соображения, и Пуанкаре использует эти соображения, создав топологию и применяя группы Ли.

С волшебной лёгкостью он переходит от одной области математики к другой,



Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы