Читать статья по математике: "Линейные уравнения и неравенства" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Линейные уравнения и неравенства

Романишина Дина Соломоновна, учитель математики гимназии №2 г. Хабаровска

1. Уравнения с одной переменной.

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)4х-1.

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+58х-1. Уравнение х2+10 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) 0 имеет два корня: х1 -3, х24.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-82 и х+1020 равносильны, т.к. корень первого уравнения х10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение ахb, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если а0, то уравнение имеет единственное решение .

Если а0, b0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.

Если а0, b0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0хb не выполняется ни при одном значении переменной. Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+403(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:

16х-15х88-40-12

х36

Ответ: 36.

Пример 2. Решить уравнения:

3х2-5х0;

х3-2х2-98х+180;

х2+7х+120.

Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.

3х2-5х0; х(3х-5)0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х10; х2.

Ответ: 0; .

Разложить на множители левую часть уравнения:

х2(х-2)-9(х-2)(х-2)(х2-9)(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х12, х2=3, х3-3.

с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+120, х(х+3)+4(х+3)0, (х+3)(х+4)0, отсюда х1-3, х2- 4.

Ответ: -3; - 4. Пример 3. Решить уравнение: х+1+х-1=3.

Напомним определение модуля числа:

Например: 33, 00, - 4 4.

В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда х+1-х-1. А если х>-1, то х+1х+1. При х-1 х+10.

Таким образом,

Аналогично

а) Рассмотрим данное уравнениех+1+х-13 при х-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+13, -2х=3, х, это число принадлежит множеству х-1.

b) Пусть -1  х  1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+13, 23 уравнение не имеет решения на данном множестве.

с) Рассмотрим случай х>1.

х+1+х-13, 2х3, х. Это число принадлежит множеству х>1.

Ответ: х1-1,5; х21,5. Пример

Похожие работы