Читать статья по математике: "Линейные уравнения и неравенства" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».-201х

х -2, -(х+2)-3х-2(х-1), - 4х4, х-2-; -2

–2х0, х+2-3х-2(х-1), 00, х-2; 0

0х1, х+2+3х-2(х-1), 6х0, х00; 1

х1, х+2+3х2(х-1), 2х- 4, х-21; +

Ответ: [-2; 0] Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.

В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.

Если а1, то уравнение имеет вид 0х0, этому уравнению удовлетворяет любое число.

Если а-1, то уравнение имеет вид 0х-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.

Если а1, а-1, тогда уравнение имеет единственное решение .

Ответ: если а1, то х – любое число;

если а-1, то нет решений;

если а1, то .

2. Системы уравнений с двумя переменными.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.

При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение во второе уравнение системы, получим

,

Ответ: (2; 3).

Пример 2. Решить систему уравнений:

Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х16, х2. Подставим значение х2 в первое уравнение, получим 10-у9, у1.

Ответ: (2; 1).

Пример 3. Решить систему уравнений:

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

Пример 4. Решить систему уравнений:

Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0х+0у-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 5. Решить систему:

Из второго уравнения выражаем ху+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем . При а-2 уравнение не а-2 имеет решения, если а-2, то .

Ответ: при a=-2система не имеет решения,

при а-2 система имеет решение .

Пример 6. Решить систему уравнений:

Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.

2х+у+3z13

+ -2х-2у-2z-12

-у+z1 или у-z-1.

Далее к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на –3,

3х+у+z8

+ -3х-3у-3z-18

-2y-2z-10,

наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z-1, умноженное на 2, получим - 4z-12, z3. Итак получаем систему уравнений:

Похожие работы