Читать статья по математике: "Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Абзалимов Р.Р.

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на , после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

,(1.1)

,(1.2)

.(1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

,(1.4)

с граничными условиями

,(1.5)

,(1.6)

где

.(1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

;

;

удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

(1.8)

В каждом интервалерешения уравнения (1.4) имеют вид:

.(1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

,(1.10)

где ,выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

(1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимостьот , затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

,(1.12)

гдевыписывается явно.

Пусть- собственные значения и- соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено

,

и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) исоответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

.(1.13)

Заметим прежде, чтопри .

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

,(1.14)

.(1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале . Представим ее в виде

,(1.16)

гдевычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

,

.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

,(1.17)

где- решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

,(1.18)

гдепри .

Тогда имеет место следующее равенство:

(1.19)

при , где- оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а- оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1 ,

.

Следствие 1.2 , где- характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6),- характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3и совпадают со всеми корнями уравнения .

Следствие 1.4образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай .

Будем рассматривать задачу

,(2.1)

,(2.2)

гдемонотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого . В случае, когда , спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что ; таким образом, для каждогозадачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке . Если бы мы знали все значения собственных функций , соответствующие

Похожие работы