(Назад)
(Cкачать работу)собственным числам задачи на полуоси, в точке , то, решая задачи на конечном промежуткес дополнительным граничным условием , мы могли бы вычислить все собственные числа задачи надостаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия(условие Дирихле) и(условие Неймана). Пусть- собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:
ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси
,(2.3)
где 1 .
Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.
ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:
.(2.4)
Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.
Замечание В случае полуограниченного оператора (), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.
Следствие 2.1 , где- длина промежутка .
Пример
.
Известно, что , где вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:
.
III. Сингулярная задача. Случай .
Будем рассматривать задачу
,(2.1)
.(2.2)
Имеет место следующая (см. [3])
ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция удовлетворяет следующим условиям
;
, при ;
сохраняет знак для больших ;
, где , при ;
.
Тогда спектр оператора- чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на и .
Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чиселзаменяется на регулярную задачу, т.е. интервалзаменяется на , где- достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием . Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при ) стремится к нулю при . С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая
ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если- собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежуткес дополнительным краевым условием , то справедливо равенстводля всех .
Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).
Замечание 2 Для расчета собственных чиселзадачи (2.1)-(2.2), промежутокзаменяется на , где- достаточно большое положительное число, с краевыми условиямии .
IV. Сингулярная задача. Случай .
Будем рассматривать задачу
,(3.1)
(3.2)
с дополнительными условиями:
;
голоморфна в точке , причем ;
примонотонно, и , где ;
при , .
Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательностьс единственной предельной точкой , а собственные функции , отвечающие собственным значениям , имеют в интервалев точностинулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.
Пример
.
Известно (см. [3]),
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы