Читать реферат по математике: "Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка" Страница 5

(Назад) (Cкачать работу)

Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение . Здесь функциянепрерывна на всей плоскости, ноограничена только в таких точках области R, которые не лежат на оси Ox (так как y=0 на оси Ox). Поэтому по теореме Коши можно утверждать, что через каждую точку плоскости, не лежащую на оси Ox, проходит только одна интегральная кривая этого уравнения.

Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть дано дифференциальное уравнение

F(x,y,y’)=0. (8)

Если в точке М0(x0,y0) плоскости выполняются условия теоремы Коши, то через нее проходит только одна интегральная кривая этого уравнения.

Если через точку М0(x0,y0) плоскости проходит не одна интегральная кривая уравнения (1), то возможны следующие варианты:

1) в точке М0(x0,y0) пересекаются несколько интегральных кривых с разными касательными (рис. 2). Это может произойти, например, в случае, когда данное дифференциальное уравнение распадается на несколько уравнений. Тогда точке М0(x0,y0) плоскости соответствует несколько разных направлений, исходящих из этой точки.

2) Через точку М0(x0,y0) проходят по крайней мере две интегральные кривые с общей касательной (рис.3).Пусть на плоскости имеется кривая AB, такая, что в каждой точке ее касается какая-нибудь интегральная кривая уравнения (8) (рис. 4). В таком случае и сама кривая AB является интегральной кривой уравнения (8). Действительно, в каждой ее точке M(x,y) все три числа x, y и y’ такие же как у некоторой интегральной кривой, и, следовательно, эти три числа удовлетворяют уравнению (8).

Определение 1. Решение, график которого таков, что через каждую его точку проходит по крайней мере еще одна касающаяся его интегральная кривая, называется особым решением дифференциального уравнения.

Очевидно, что в каждой точке особого решения нарушаются условия теоремы Коши.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение(a=const).

Разрешим это уравнение относительно y’:

Таким образом, уравнение распадается на два уравнения, т.е. имеет место первый из рассмотренных выше случаев. Чтобы решить эти уравнения, отделим в них переменные x и y друг от друга, обозначив:

.

В такой записи мы имеем равенство дифференциалов двух различных выражений, а именно:,

Откуда

В такой записи видно, что общий интеграл представляет собой семейство окружностей радиуса a с центрами в точках (С,0), т.е. с центрами на оси Ox.

Так как постоянной С можно придавать различные положительные и отрицательные значения, то центры окружностей расположены сплошь по всей оси Ox. На рис. 5 видно, что через каждую точку плоскости, лежащую в полосе -a

Похожие работы