(Назад)
(Cкачать работу)веществ (в грамм-молекулах на единицу объема) в начале реакции, т.е. при t=0 (пусть, например, a 0, что в интервале Iх - x0I£h определено решение y = y (x) такое, что y (x0) = y0 и не существует решения, определенного в этом же интервале и не совпадающего с решением y = y (x) хотя бы в одной точке интервала Iх - x0I £ h, отличной от точки x = x0. В противном случае, то есть когда задача Коши с начальными условиями (5) имеет не одно решение или же совсем не имеет решений, говорят, что в точке (x0, y0) нарушается единственность решения задачи Коши.
Замечание. Вопрос о единственности решения задачи Коши представляет исключительный интерес, как для самой теории дифференциальных уравнений, так и для ее многочисленных приложений, ибо, зная, что решение задачи Коши единственно, мы, найдя решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, уверены, что других решений, удовлетворяющих тем же начальным условиям, нет. Например, в вопросах естествознания это приводит к тому, что мы получаем вполне определенный, единственный закон явления, определяемый только дифференциальным уравнением и начальными условиями.
Пример 1. Материальная точка движется по некоторой прямой, причем так, что скорость движения представляет собою известную функцию времени f (t). Найти закон движения этой точки, если в заданный момент времени t0 она занимает положение x0.
Решение.
Примем упомянутую прямую за ось Ох. Принимая во внимание механический смысл первой производной, получаем дифференциальное уравнение первого порядка .
Предположим, что f(t) непрерывна в интервале (a, b). Тогда все решения данного уравнения содержатся в формуле
(a < t < b), где верхний предел интеграла - переменный, нижний предел - некоторое фиксированное число из интервала (a, b), а С - произвольная постоянная.
Выделим из семейства движений то движение, при котором движущаяся точка занимает заданное положение х0 в заданный момент времени t0, т.е. найдем решение x=x (t), удовлетворяющее условиямx = x0 при t = t0.
(a < t < b). Полученная формула выражает вполне определенный закон движения точки по оси Ох.
Сформулируем строго утверждение, дающее возможность однозначно решать вопрос о существовании и единственности решения конкретного дифференциального уравнения.
Теорема (существования и единственности решения задачи Коши).
Пусть дано уравнение (2) , и поставлены начальные условия (5) y = y0 при x = x0. Предположим, что функция f (x, y) определена в некоторой замкнутой ограниченной области R: êx - x0ê£ a, êy - y0ê£ b с точкой (x0, y0) внутри ( a и b - заданные положительные числа) и удовлетворяет в ней следующим двум условиям.
1. Функция f (x, y) непрерывна и, следовательно, ограничена, т.е.êf (x, y)ê< m, где М - постоянное положительное число, а (x, y) - любая точка области r.
2. Функция f (x, y) имеет ограниченную частную производную по аргументу y, т.е.:,
где К - постоянное положительное число, а (x, y) - любая точка области R.
При этих предположениях уравнение (2) имеет единственное решение y = y (x),
удовлетворяющее начальным условиям (5). Это решение определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности начального значения х0 независимой переменной х, а именно оно заведомо определено в интервале
Iх - x0I £ h,
где h есть наименьшее из чисел a и b/M,
h = min (a, b/M).
Данную теорему мы
Похожие работы
Интересная статья: Основы написания курсовой работы