(Назад)
(Cкачать работу)факт, что для пространства остается верным основное свойство параллельных прямых: если две прямые KL и MN параллельны третьей прямой АС, то KL и MN лежат в одной плоскости и параллельны между собой.)
Таким образом, точки К, L, М, N — вершины параллелограмма; тем самым отрезки КМ и LN пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Вместо четырехугольника здесь можно говорить о тетраэдре — треугольной пирамиде ABCD: середины К, L, М, N его ребер АВ, AC, CD и DA всегда лежат в одной плоскости. Разрезав тетраэдр по этой плоскости (рис. 6, б), мы получим параллелограмм KLMN, две стороны которого параллельны ребру АС и равны
АС/2, а две другие — параллельны ребру BD и равны BD/2.
Такой же параллелограмм — «среднее сечение» тетраэдра — можно построить и для других пар противоположных ребер. Каждые два из этих трех параллелограммов имеют общую диагональ. При этом середины диагоналей совпадают. Итак, мы получаем интересное следствие:
Теорема 6. Три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис. 7).
Этот и другие обсуждавшиеся выше факты естественно объясняются на языке механики — с помощью понятия центра масс. В теореме 5 говорится об одной из замечательных точек треугольника — точке пересечения медиан; в теореме 6 — о замечательной точке для четверки вершин тетраэдра. Эти точки — центры масс соответственно треугольника и тетраэдра. Вернемся сначала к теореме 5 о медианах.
Поместим в вершинах треугольника три одинаковых груза (рис. 8). Массу каждого примем за единицу. Найдем центр масс этой системы грузов.
Рассмотрим сначала два груза, находящихся в вершинах А и В: их центр масс расположен в середине отрезка АВ, так что эти грузы можно заменить одним грузом массой 2, помещенным в середину К отрезка АВ (рис. 8, а). Теперь нужно найти центр масс системы из двух грузов: одного массой 1 в точке С и второго — массой 2 в точке К. По правилу рычага, центр масс такой системы находится в точке О, делящей отрезок СК в отношении 2:1 (ближе к грузу в точке К с большей массой — рис. 8, б).
Мы могли сначала объединить грузы в точках В и С, а затем — полученный груз массой 2 в середине L отрезка ВС — с грузом в точке А. Или сначала объединить грузы А и С, а. затем присоединить В. В любом случае мы должны получить тот же результат. Центр масс находится, таким образом, в точке О, делящей каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Подобными соображениями можно было объяснить и теорему 4 — тот факт, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, делят друг друга пополам (служат диагоналями параллелограмма): достаточно поместить в вершинах четырехугольника одинаковые грузы и объединить их попарно двумя способами (рис. 9). Конечно, четыре единичных груза, расположенных на плоскости или в пространстве (в вершинах тетраэдра), можно разбить на две пары тремя способами; центр масс находится посередине между серединами отрезков, соединяющих эти пары точек (рис. 10) — объяснение теоремы 6. (Для плоского четырехугольника полученный результат выглядит так: два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке О и делятся ею пополам).
Через точку О — центр масс четырех одинаковых грузов —
Похожие работы
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы