Читать реферат по математике: "Применение неравенств при решении олимпиадных задач" Страница 2


назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

А2, …, Аn принадлежат надграфику выпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибо надграфик – выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньше ординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е. . (2) рис. 1 Для завершения доказательства остаётся положить m1= α1, …, mn= αn.

Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процессе доказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самом деле эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1)(i=1, 2, ..., n), мы получаем неравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называются неравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако для приложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функциявогнутая, то для неё неравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть выпуклую функцию .

Неравенство Коши-Буняковского

На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого впечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатление обманчиво.

Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретном примере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского , где a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn – произвольные положительные числа.

Доказательство:

Как мы знаем, функция- выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Йенсена (2): , (mi > 0). Следовательно, . Положив , получим требуемое неравенство.

Неравенство Коши

При решении многих задач часто используется классическое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическим неотрицательных чисел.

Пусть x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа. Средним арифметическим этих чисел называется число – . Средним геометрическим чисел x1, x 2, …, x n называется число – . Теорема 1. Если x1, x 2, …, x n – неотрицательные числа, то имеет место неравенство . (1) Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Коши следует из очевидного неравенства

. Действительно, , откуда . (2) Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и только тогда, когда x1=x2.

Пусть x1, x 2, …, x n – положительные числа. Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число – . Теорема 2. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства An ≥ Gn ≥ Hn. Действительно, применяя к числамнеравенство Коши, получаем , (3) откуда Gn ≥ Hn.

Пусть x1, x 2, …, x n – произвольные числа. Средним квадратическим этих чисел называется число – . Теорема 3. Если x1, x 2, …, x n – положительные числа, то имеют место неравенства Kn ≥ An ≥ Gn ≥ Hn , или

. (4) Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда, когда все числа равны.

Для двух чисел неравенство (4) можно записать как , которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. А именно, аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ≥ An.

Неравенство Бернулли

Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач – это использование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчить задачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:

Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место (1) причем равенство в (1)



Интересная статья: Основы написания курсовой работы