Читать реферат по математике: "Определение многочленов (полиномов)" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Многочлены над кольцом классов вычетов

Курсовая работа по математике

Ставропольский государственный институт

Ставрополь, 2004 г.

Содержание

1. Определение многочлена 2. Операции над многочленами 3. Кольцо многочленов над областью целостности 4. Схема Горнера и теорема Безу 5. Вычисление наибольшего общего делителя 6. Наименьшее общее кратное 7. Сравнения многочленов по многочлену 8. Классы вычетов

В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида , где a - некоторое число, x - буква, m - целое неотрицательное число. Одночлен отождествляется с числом a, так что числа рассматриваются как одночлены. Далее, одночлены называются подобными, если показатели при букве x одинаковы. Подобные одночлены складываются по правилу , называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. В полиноме порядок слагаемых безразличен, и подобные одночлены можно соединить, согласно приведению подобных членов. Поэтому любой полином можно записать в канонической форме , с расположением членов в порядке убывания показателей. Иногда оказывается удобным записывать члены полинома в порядке возрастания показателей.

Буква x обычно обозначает произвольное число. Иногда x считают переменной, тогда полином задает функцию от x, называемую целой рациональной функцией.

Два полинома называются формально равными, если они, в канонической записи, составлены из одинаковых одночленов. Ясно, что формально равные полиномы равны тождественно, т.е. принимают одинаковые значения при каждом значении буквы x. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Наша задача сейчас состоит в том, чтобы несколько расширить понятие полинома. Пусть K - некоторое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, и пусть x - буква, посторонняя для кольца K. Одночленом от буквы x с коэффициентом из K называется выражение , где , m - целое неотрицательное число. Считается, что , так что элементы кольца K являются одночленами частного вида. Выражениерассматривается как формальная запись. Для одночленов естественным образом определяются действие приведения подобных членов и действия умножения . Формальное выражение, состоящее из нескольких одночленов, соединенных знаком +, называется многочленом или полиномом от x с коэффициентами из K. Предполагается, что порядок следования одночленов безразличен, подобные одночлены можно соединять, а также вставлять и выбрасывать одночлены с нулевыми коэффициентами. Без нарушения общности можно считать полином записанным в канонической форме(т. е. в порядке убывания степеней) или в порядке возрастания степеней .

Два полинома считаются равными, если они составлены в канонической записи из одинаковых одночленов, т. е.в том и только в том случае, если .

Суммой двух полиномов называется полином, получающийся посредством объединения одночленов, составляющих слагаемые. Разумеется, после объединения следует привести подобные члены. Таким образом,, где . (Если многочлены f(x) и g(x) имеют разное число одночленов, то,

Похожие работы