Читать реферат по математике: "Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші." Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

           Д о в е д е н н я. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладаючи на осі абсцис номера членів ряду, а на осі ординат – відповідні значення членів ряду   . Побудуємо на цьому ж рисунку графік неперервної функції , що задовольняє умові (13.13). Ясно, що ця функція буде проходити через точки  (рис. 13.1).

                 Рис.13.1                              Рис.13.2

           Зауважимо, що площа го прямокутника дорівнює , а сума площ побудованих  прямокутників дорівнює частинній сумі ряду  З іншого боку, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, містить область, що обмежена кривою  і прямими ; площа цієї області дорівнює  Отже, 

                                                              (13.14)

           На рис.13.2 перший (зліва) із побудованих прямокутників має висоту , а тому його площа буде  Площа другого прямокутника  і т.д. Площа останнього із побудованих прямокутників буде

Отже, сума площ всіх побудованих прямокутників дорівнює

З іншого боку, як легко помітити, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, міститься всередині криволінійної трапеції, обмеженої кривою   і прямими

Площа цієї криволінійної трапеції дорівнює   Тому

звідки

                         .                           (13.15)

Розглянемо тепер обидва випадки.

           1). Нехай невласний інтеграл  збігається. Оскільки

то в силу нерівності (1.15) будемо мати

тобто частинна сума ряду, яка є монотонно зростаючою (члени ряду додатні) , залишається обмеженою. Значить,  при має  скінчену границю , тобто ряд збігається.

           2). Нехай невласний інтеграл  розбігається, тобто  Це значить, що  необмежено зростає при зростанні  Але, в силу нерівності (13.14),  також необмежено зростає при зростанні , тобто ряд розбігається.

           Таким чином, теорема повністю доведена.

           Зауваження . Доведена теорема залишається справедливою і в тому випадку, коли нерівності (13.12) виконуються, лише починаючи з деякого

           Розглянемо ряд

           Оскільки невласний інтеграл  збігається при  і розбігається при  то і даний ряд буде збігатися при  і розбігатися при

           Приклад. Дослідити збіжність ряду

           Р о з в ‘ я з о к.

;

Для дослідження збіжності ряду  використаємо інтегральну ознаку Коші:

; інтеграл збігається, отже, і

ряд  - збігається. Тому за ознакою порівняння

ряд   також збігається.

Похожие работы