Читать реферат по математике: "Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші." Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

то:

1)      при  ряд (13.4) збігається;

2)      при  ряд (13.4) розбігається;

3)      при  теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

           Д о в е д е н н я. 1) Нехай  Розглянемо деяке число що задовольняє умові Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх  буде виконуватися нерівність

                                                                         (13.8)

Дійсно, оскільки величина  прямує до границі  то , починаючи з деякого номера  різниця між величиною  і числом  може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за тобто

Звідси і випливає нерівність (13.8).

           Запишемо нерівність (13.8) для різних значень  починаючи з номера :

                      .                           (13.9)

           Розглянемо тепер два ряди:

  ,

                            .

Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником , тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з  , менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд  - збігається, а це і є ряд (13.4).

           2) Нехай  Тоді з рівності (13.7) випливає (при ) , що, починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність

,

або  Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера , а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.

           Зауваження 1. Ряд (13.4) буде розбігатися і в тому випадку, коли  Це випливає з того, що починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність , або .

           Зауваження 2. Якщо , то ознака Даламбера не дає можливості встановити,  збігається чи розбігається даний  ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому – розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.

           Зауваження 3. Якщо , але відношення  для всіх номерів , починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.

           Це випливає з того, що при  буде виконуватися нерівність , і загальний член не прямує до нуля при

           Приклад 1.  Дослідити збіжність ряду

.

Р о з в ‘ я з о к. Використаємо ознаку Даламбера :       ,

     і   

,  тому ряд розбігається.

           Приклад 2.  Дослідити збіжність ряду  .

           Р о з в ‘ я з о к. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо

1 – ряд розбігається.

13.6. Інтегральна ознака Коші

           Розглянемо ще одну ознаку, яка відрізняється по формі від всіх попередніх.

           Нехай ряд має форму

                             ,                                              (13.11)

і  є значення при  деякої функції , визначеної для . Припустимо, що ця функція неперервна, додатна і монотонно спадна.

           Теорема. Нехай члени ряду (13.11) додатні і не спадають, тобто

                                                         (13.12)

і нехай така неперервна неспадна функція, що

                              (13.13)

           Тоді :

1)      якщо невласний інтеграл  збігається, то збігається і ряд (13.11);

2)      якщо невласний

Похожие работы