Читать реферат по математике: "Частные производные" Страница 4

(Назад) (Cкачать работу)

.Пусть уравнение(13)

Определяет z как неявную функциюнезависимых переменных xи y.

Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:

, .(14)Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной уравнением .

Согласно формулам (14)

,

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функциидвух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

,,

,.

Частные производныеи , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Имеем:

, ,,

, , , .

Здесь=. Оказывается, имеет место следующая теорема.

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны:=.

Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

Покажем это на примере:

,

т.е.

.

Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции(мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство=. В общем случае схема рассуждений аналогична.

Признак полного дифференцирования.

Выясним, при каких условиях выражение ,(1)

гдеинепрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции , или, кратко, полным дифференциалом.

Теорема. Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство

. 3.3. Дифференциалы высших порядков.Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:

I. ,.

II. .

III..

IV..Пусть имеется функциянезависимых переменных xи y, обладающая непрерывными частными производными второго порядка. Рассмотрим ее полный дифференциал (dx и dy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

Так какипо предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции , в свою очередь, можно взять полный дифференциал . Так получим полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается .

Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.

Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dx и dy не зависят от x и y, т.е. рассматриваются как

Похожие работы