Читать реферат по математике: "Частные производные" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

,

,

если эти пределы существуют. Величинаназывается частнымприращением функции z в точкепо аргументу . Используются и другиеобозначения частных производных:

,,,,

,,,.

Символы , , ,как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная- угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхностии плоскостив соответствующей точке.

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производнаяесть скорость изменения функцииотносительнопри постоянном .

Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если , то , .

Пример 2. Если , то , . Величинаназывается изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

Полный дифференциал.

.(1)

Если приращение (1) можно представить в виде,(2)

Где Аи В не зависят оти , аистремятся к нулю при стремлении к нулюи , то функцияназывается дифференцируемой в точке , а линейная частьприращения функции (т.е. та часть , которая зависит отилинейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точкеи обозначается символом :

.(3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точкефункциядифференцируема, то для этой точкипредставимо в форме (2), откуда следует, что

,

а это и означает, что в точкефункциянепрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функцияв точкедифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем , имеем:

.

Деля наи переходя к пределу при , получаем:

.

Это означает, что в точкесуществует частная производная функциипои .(4)

Аналогично доказывается, что в точкесуществует частная производная

.(5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

.

Если положить, то, т.е. . Аналогично, полагая , получим . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функцияимеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке , то эта функция дифференцируема в точке .

Доказательство. Дадим переменнымистоль малые приращенияи , чтобы точкане вышла за пределы указанной окрестности точки . Полное приращениеможно записать в виде .

Каждая из этих разностей представляет

Похожие работы