Читать реферат по математике: "Теория вероятности 3" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

1.

2.

3. обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности)

Математически классическая (т.е. неквантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова как мера на вероятностном пространстве, причём мера всего пространства равна единице. При этом случайные события определяются как измеримые подмножества этого пространства

Вероятностное пространство — это тройка , где

— это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;— сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;— вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть — конечное множество, содержащее элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

,

где , и - число элементарных исходов, принадлежащих .

В частности, вероятность любого элементарного события:

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять и определить вероятность следующим образом:

Пусть — вероятностное пространство. Функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на , называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

Измеримая функция называется n-мерным случайным вектором

Похожие работы