Читать реферат по математике: "Теория вероятности 3" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Из свойств вероятности следует, что , таких что a < b:

;;;;;;;.

Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция распределения FX этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция непрерывна в любой точке , такой что , и имеет разрыв, равный pi, в x = xi.

Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения FX. В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где | a,b | означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция fX(x), такая что:

.

Функция fX называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и

.

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.

В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):

D[X] = U''(0) − U'2(0)

Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где – их ковариация;

Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где ;

В частности, D[X1 + ... + Xn] = D[X1] + ... + D[Xn] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на т. е. её плотность вероятности задана равенством

Тогда

и

Тогда

Пусть — случайная величина,

Похожие работы