Читать реферат по математике: "Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной и высшей математики

Лабораторная работа № 43

на тему:

Решение смешанной задачи для уравнения

гиперболического типа методом сеток

Группа М-2136

Выполнил студент _______________________

Проверил преподаватель Воронова Лилия Ивановна

Курган 1998

Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = c 2 * ( ¶2u/ ¶ x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t Ј t, начальным условиям u(x,0) = f(x), ¶ u(x,0)/ ¶ t = g(x) , 0 Ј x Ј a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.

Так как замена переменных t ® ct приводит уравнение (1) к виду ( ¶ 2 u/ ¶ t2) = ( ¶2u/ ¶ x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.

Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0 Ј x Ј a, 0 Ј t Ј T } сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h * n, tj = j* ttt , j = 0,1 ... , m, t m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.

t

T

j+1

j

j-1

0 i-1 i i+1

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) . ui,j+1 - 2uij + ui,j-1 ui+1,,j - 2uij + ui-1, j t 2 h2

(4)

Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj).

Полагая, что l = t / h , получаем трехслойную разностную схему

ui,j+1 = 2(1- l 2 )ui,j + l 2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2 ... n. (5)

Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m 1(t) є 0, m 2(t) є 0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия ui0 = f(xi).

Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить ¶u(x,0)/ ¶ t » ( u( x, t ) - u(x,0) )/ t (6) , то ui1=ui0+ + t (xi), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5).

Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О( t +h2). Невысокий порядок аппроксимации по t объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта t < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h ® 0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.

Похожие работы