Читать реферат по математике: "Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Наконец, чертеж должен быть легко выполним циркулем и линейкой, его построение должно удовлетворять аксиомам конструктивной геометрии. Однако разделы «Геометрические построения на плоскости» и «Методы изображений» так далеко стоят друг от друга, что при изучении одного мы совершенно забываем об изученном ранее другом. [5]1.3. Изображение плоских фигур в параллельной проекции

При изображении плоских фигур в параллельной проекции применяются следующие теоремы.

Теорема 1.

Изображениемявляется любой треугольник АВС.

Теорема 2.

Если дано изображение на плоскости П, то можно построить изображение любой точки.4 [2]

Исходя из теорем 1 и 2, легко построить изображения любых плоских фигур; в частности, изображением параллелограмма (квадрата, ромба, прямоугольника) является любой параллелограмм. Изображением трапеции является трапеция с тем же отношением длин оснований. Изображением окружности является эллипс, изображением перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса.

Ввиду того, что при изображении сферы, цилиндра, конуса необходимо уметь строить изображение окружности, я остановлюсь немного подробнее на способах построения эллипса.

Способ I. Построение эллипса5 по двум главным диаметрам АВ и CД (рис. 8).

1. АВ ∩ СД = О, О- середина отрезка АВ

2. W1 (0, ОС), . W2 (0, ОА) - окружности

3.

4. М1€ l ,М2 € l ∩ W2.

5. l1 || 0В, М1€ l1 , l2 || ОС, М2 € l2

6. М€ l1∩ l2 , М - искомая точка эллипса.

Доказательство правильности построения легко провести, введя систему координат O (0;0), В(а; 0), С(0; b) и рассматривая параметр t - угол между осью Ох и прямой l.

Способ П. Построение эллипса по двум сопряженным диаметрам, используя перспективно аффинные преобразования6 плоскости (рис. 9).

Пусть АВ и CD- два сопряженных диаметра эллипса7. Я построю на диаметре АВ окружность и проведу диаметр С1D1 ей перпендикулярный. Применяю перспективно аффинное преобразование, заданное осью АВ и парой соответствующих точек С1 → С (или D1→ D). Тогда образом окружности будет эллипс.

Собственно построение.

1. АВ, CD, О - середина отрезков АВ и СD.

2. W (O, ОА) - окружность.

3. OD1 ┴ AB, C1 € W, D1 € W

4.

5. С1 М1 ∩ АВ=Мо

6. СМо.

7. l || С1С, М1 € l

8. СМо ∩ l = М - искомая точка эллипса.

Можно значительно упростить построение образа точки М1, используя подобие треугольников ОСС1 и ОММ1 (ОМ1 || ОС1, ММ1 || СС1 и ОМ || ОС). Существует много других способов построения эллипса. [2] 1.4 Задание многогранников.

Геометрическими элементами многогранников8 являются вершины, ребра, грани и для многогранников-тел - пространство внутри многогранника. Все элементы можно представить в виде структурированного массива точек.

Совокупность всех граней называется поверхностью многогранника. Поверхность

многогранника задана, если есть алгоритм, с помощью которого можно определить на ней точку. Если точка принадлежит многограннику, то она располагается либо на ребре, либо на грани, либо внутри многогранника. Задание точки на ребре выполняется так же, как построение точки на прямой. Построение точки на поверхности

Похожие работы