- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
СОДЕРЖАНИЕ
Общая постановка задачиПостановка тестовых задач Методика решения тестовых задачРезультаты вычислений
Список литературы
Приложения
Приложение 1: Описание программы
Приложение 2: Текст программы
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением параболического типа:
( 1 )
гдетемпература (или концентрация). Пустьявляются некоторыми константами и . Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют следующий физический смысл:
- соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещества диффузией);
- соответствует конвективному переносу;-
- "кинетический член", соответствует источнику, пропорционально-
му температуре или концентрации;
- интенсивность внешних источников или стоков.
В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения (1).
Численное решение уравнения (1) будем искать в области :
( 2 )
при заданных начальных значениях температуры:( 3 )
и граничных условиях.
Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой:
при;
при.
2. ПОСТАНОВКА ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
В качестве тестовых задач для температурымною были выбраны следующие пять функций:
( 9 )
( 10 )
( 11 )
( 12 )
( 13 )
Для функции (9) имеем:
Для функции (10):
Для функции (11):
Для функции (12):
Для функции (13):
Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени: [0, 1], с количеством разбиений по этим отрезкам - 30.
3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы.
Схема реализуется в три этапа.
1 этап: находятся предварительные значенияс помощью 4-х точечной неявной схемы:
( 5 )
2 этап: используется за два шага. Сначала находятсяна полученном слое () с шагом , а затемчерез . В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема:
( 6 )
( 7 )
3 этап: окончательные значениянаходятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений:
( 8 )
Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.
В начале нужно преобразовать (5) – (7) к виду:
( 14 )
Тогда (5) примет вид:
Т.е.;
;
;
.
Формула (6) преобразуется в:
Т.е. ;
;
;
.
Формула (7) преобразуется в:
Т.е.;
;
;
.
Далее решаем по формулам скалярной прогонки:
( 15 )
( 16 )
Для определения ,ивоспользуемся данными граничными условиями, т.е. формулой (4) и функцией . Так если мы берёмиз формулы (9), то имеем:
Приведём это выражение к виду: .
Т.е. теперь мы имееми :Далее найдем конечное :
( 18 )
Проведя аналогичные расчёты длязаданных формулами (10) – (13), мы получим соответствующие ,и . Далее мы можем решить системы методом прогонки и получить требуемый результат.
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Численное решение модельного уравнения |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. |
Предмет/Тип: Математика (Доклад) |
Тема: Численное решение уравнения теплопроводности |
Предмет/Тип: Отсутствует (Диплом) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы